点线面关系知识总结和练习题(有答案)

点线面位置关系总复习

知识梳理

一、直线与平面平行 1. 判定方法

(1)定义法:直线与平面无公共点。 a ⊄α(2)判定定理:

b ⊂αa //α

a //b

(3)其他方法:

α//β

a //αa ⊂β

a //α

2. 性质定理:a ⊂β a //b

α⋂β=b

二、平面与平面平行 1. 判定方法

(1)定义法:两平面无公共点。

a //βb //β

(2)判定定理:a ⊂α

α//β

b ⊂αa ⋂b =P

(3)其他方法:

a ⊥αa //γ

α//β; α//β a ⊥ββ//γ

α//β

2. 性质定理:γ⋂α=a a //b

γ⋂β=b

三、直线与平面垂直

(1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ① 用定义.

a ⊥b a ⊥c

② 判定定理:b ⋂c =A a ⊥α

b ⊂αc ⊂α

③ 推论:

a ⊥α

b ⊥α a //b

(3)性质 ①

四、平面与平面垂直

(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。 (2)判定定理(3)性质

a ⊥αa ⊥α

a ⊥b ② a //b b ⊂αb ⊥α

a ⊂α

α⊥β a ⊥β

α⊥βα⋂β=l

①性质定理 α⊥β

a ⊂α

a ⊥l

α⊥βα⋂β=l ② A ∈l

P ∈α

P A ⊥β垂足为A α⊥βα⋂β=④ PA ⊂α

P ∈αPA ⊥β

“转化思想”

面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直

● 求二面角

1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线, 它们所成的角就是二面角的平面角. 2. 在二面角的平面角

例1.如图,在三棱锥S-ABC 中,SA ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC ,且分别交AC 于D ,交SC 于E ,又SA=AB,SB=BC,求以BD 为棱,以BDE 和BDC 为面的二面角的度数。

● 求线面夹角

定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)

方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例1:在棱长都为1的正三棱锥S -ABC 中,侧棱SA 与底面ABC 所成的角是________.

的棱上任取一点O ,在两半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角

例2:在正方体ABCD -A1B1C1D1中,

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________; ②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________; ③CC1与平面BC1D 所成的角的大小是___________;

⑤ BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________;

⑥ BD1与平面BC1D 所成的角的大小是___________;

例3:已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°,试求OA 与平面BOC 所成的角的大小.

● 求线线距离

说明:求异面直线距离的方法有:

(1)(直接法)当公垂线段能直接作出时,直接求.此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键.

(2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线a 、b 距离,先作出过a 且平行于b 的平面α,则b 与α距离就是a 、b 距离.(线面转化法).

也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离.(面面转化法).

(3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.

(4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解. 两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离),这方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求.

例:在棱长为a 的正方体中,求异面直线BD 和B 1C 之间的距离。

● 线面平行(包括线面距离)

例:已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,且SA =SB =SC ,SG 为∆SAB 上的高,D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点,试判断SG 与平面DEF 内的位置关系,并给予证明

● 面面平行(包括面面距离) 例1:已知正方体 ABCD 1 BC 1 1 D 1 ,求证 平面B 1AD 1//平面BC 1D - A

例2:在棱长为a 的正方体中,求异面直线BD 和B 1C 之间的距离.

● 面面垂直

例1:已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面PAC ⊥平面PBD 。

例2:已知直线PA 垂直于⓪O 所在的平面,A 为垂足,AB 为⓪O 的直径,C 是圆周上异于A 、B 的一点。求证:平面PAC ⊥平面PBC 。

课后作业:

一、选择题

1. 教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )

A. 平行 B. 相交 C. 异面

D. 垂直

2. 若m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) A. 若m ⊂β,α⊥β,则m ⊥α

B. 若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m ∥n ,则α∥β C. 若m ⊥β,m ∥α,则α⊥β D. 若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ

3.(改编题) 设P 是△ABC 所在平面外一点,P 到△ABC 各顶点的距离相等,而且P 到△ABC 各边的距离也相等,那么△ABC ( )

A. 是非等腰的直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. 是等边三角形

D. 不是A 、B 、C 所述的三角形

4. 把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ,则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ) A. 2 B.

23

C.1 D. 23

5. 如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB =90°,M 为AB 的中点,PM 垂直于△ACB 所在平面,那么( )

A. P A =PB >PC B. P A =PB

6. 正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2,高为2,E 是边BC 的中点,动点P 在表面上运动,并且总保持PE ⊥AC ,

则动点P 的轨迹的周长为 .

7. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;

④m ⊥α.

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .

三、解答题

11. 如图(1),等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD ,∠ABC =60°,E 是BC 的中点,如图(2),将△ABE 沿AE 折起,使二面角B —AE —C 成直二面角,连接BC ,BD ,F 是CD 的中点,P 是棱

BC 的中点.

(1)求证:AE ⊥BD ;

(2)求证:平面PEF ⊥平面AECD ;

(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ?并说明理由.

12. 如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面。M , N 分别是AB , PC 的中点。()求证:1MN ⊥面PAD

( 2)求证:MN ⊥CD

O

(3)若∠PDA =45, 求证:

MN ⊥面PCD

12. 如图所示,已知△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°,E 、F 分别是AC 、AD AE AF

上的动点,且=λ(0

AC AD

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC ; (2)当λ为何值时,平面BEF ⊥平面ACD ?

13. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2BC ,P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点,EP ⊥平面ABCD .

(1)求证:DP ⊥平面EPC ;

(2)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ?若存在,求出的值.

FP AP

参考答案

● 求二面角

分析:找二面角的平面角, 有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线, 它们所成的角就是二面角的平面角. 解:

在RtΔSAC中,SA=1,SC=2, ∴∠ECA=30︒,

在RtΔDEC中,∠DEC=90︒, ∴∠EDC=60︒,

∴ 所求的二面角为60︒。

● 求线线距离 解法1:(直接法)如图:

取BC 的中点P ,连结PD 、PB 1分别交AC 、BC 1于M 、N 两点, 易证:DB 1//MN ,DB 1⊥AC ,DB 1⊥BC 1.

13MN =DB 1=a

BC MN AC 33. 1的公垂线段,易证:∴为异面直线与

小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解.但通常寻找公垂线段时,难度较大.

解法2:(转化法)如图:

∵AC //平面A 1C 1B ,

∴AC 与BC 1的距离等于AC 与平面A 1C 1B 的距离,

1中,作斜边上的高OE ,则OE 长为所求距离, 在Rt ∆OBO

OB =

2

a

2,OO 1=a ,

OO 1⋅OB 33OE ==a O 1B =a

O 1B 3. 2,∴∴

小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离.

解法3:(转化法)如图:

1//平面A 1C 1B , ∵平面ACD

1与平面A 1C 1B 的距离. ∴AC 与BC 1的距离等于平面ACD

1,且被平面ACD 1和平面A 1C 1B 三等分; ∵DB 1⊥平面ACD

13

B 1D =a 33∴所求距离为.

小结:这种解法是线线距离转化为面面距离.

解法4:(构造函数法)如图:

任取点Q ∈BC 1,作QR ⊥BC 于R 点,作PK ⊥AC 于K 点,设RC =x ,

222则BR =QR =a -x ,CK =KR ,且KR +CK =CR KR 2=

∴11CR 2=x 222. 12x +(a -x ) 2

2 QK 2=则

=3211(x -a ) 2+a 2≥a 2

2333,

3a BC QK AC 31的距离等于故的最小值,即与.

小结:这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离.

解法5:(体积桥法)如图:

当求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与平面A 1C 1B 的距离后,设C 点到平面A 1C 1B 的距离为h ,

则V C -A 1C 1B =V A 1-BCC 1. 1311h ⋅(2a ) 2=⋅a ⋅a 2

432, ∵3

h

∴a a 3.即AC 与BC 1的距离等于3.

小结:本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体的高,然后用体积公式求之.这种方法在后面将要学到.

线面平行

例:

分析1:如图,观察图形,即可判定SG //平面DEF ,要证明结论成立,只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行.

观察图形可以看出:连结CG 与DE 相交于H ,连结FH ,FH 就是适合题意的直线.

怎样证明SG //FH ?只需证明H 是CG 的中点.

证法1:连结CG 交DE 于点H ,

∵DE 是∆ABC 的中位线,

∴DE //AB .

在∆ACG 中,D 是AC 的中点,且DH //AG ,

∴H 为CG 的中点.

∵FH 是∆SCG 的中位线,∴FH //SG .

又SG ⊄平面DEF ,FH ⊂平面DEF ,

∴SG //平面DEF .

分析2:要证明SG //平面DEF ,只需证明平面SAB //平面DEF ,要证明平面DEF //平面SAB ,只需证明SA //DF ,SB //EF 而SA //DF ,SB //EF 可由题设直接推出.

证法2:∵EF 为∆SBC 的中位线,

∴EF //SB .

∵EF ⊄平面SAB ,SB ⊂平面SAB ,

∴EF //平面SAB .

同理:DF //平面SAB ,EF DF =F ,

∴平面SAB //平面DEF ,又∵SG ⊂平面SAB , ∴SG //平面DEF .

面面平行

例一:

证明:∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,

∴D 1A //C 1B ,

又 C 1B ⊂平面C 1BD ,

故 D 1A //平面C 1BD .

同理 D 1B 1//平面C 1BD .

又 D 1A D 1B 1=D 1,

∴ 平面AB 1D 1//平面C 1BD .

例二:

根据正方体的性质,易证:

BD //B 1D 1⎫⎬⇒平面A 1BD //平面CB 1D 1A 1B //D 1C ⎭ 连结AC 1,分别交平面A 1BD 和平面CB 1D 1于M 和N 因为CC 1和AC 1分别是平面ABCD 的垂线和斜线,AC 在平面ABCD 内,AC ⊥BD 由三垂线定理:AC 1⊥BD ,同理:AC 1⊥A 1D ∴AC 1⊥平面A 1BD ,同理可证:AC 1⊥平面CB 1D 1 ∴平面A 1BD 和平面CB 1D 1间的距离为线段MN 长度. 如图所示:

在对角面AC 1中,O 1为A 1C 1的中点,O 为AC 的中点 ∴AM =MN =NC 1=1AC 1=a 33.

3a B C A BD CB D ∴BD 和1的距离等于两平行平面1和11的距离为3.

面面垂直

例1:

例2:

AB 是圆O 的直径C 是圆周上异于A 、B 的一点⎫⎬⇒BC ⊥AC ⎭PA ⊥平面ABC ⎫⎬⇒BC ⊥PA

BC ⊂平面ABC ⎭

AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC

AC PA =A

作业:

一、选择题:

1. D 2. C 3. C 4. B 5. C

6. 解析:如图,取CD 的中点F 、SC 的中点G ,连接EF ,EG ,FG ,EF 交AC 于点H ,易知AC ⊥EF ,又GH ∥SO ,

⎫⎪⇒BC ⊥平面PAC ⎪⎬BC ⊂平面PBC ⎪⎪⎭ ⎫⎬⇒平面PAC ⊥平面PBC 。⎭

∴GH ⊥平面ABCD ,

∴AC ⊥GH ,∴AC ⊥平面EFG , 故点P 的轨迹是△EFG , 2+6.

答案:26

7. ①③④⇒②;②③④⇒①


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