湘教版九年级数学上册反比例函数教案

第一章 反比例函数

第一课时 建立反比例函数的模型

一、教学目标

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想 二、重、难点

1.重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解反比例函数的概念 三 教学过程:

一、

创设情景 探究问题

情境1: 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化? 当路程一定时,速度与时间成什么关系?(s =vt ) 当一个长方形面积一定时,长与宽成什么关系?

[说明]这个情境是学生熟悉的例子,当中的关系式学生都列得出来,鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流,最终让学生讨论出:当两个量的积是一个定值时,这两个量成反比例关系,如xy =m (m 为一个定值),则x 与y 成反比例。

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。 情境2:

汽车从南京出发开往上海(全程约300km ),全程所用时间t (h )随速度v (km/h)的变化而变化. 问题:

(1)你能用含有v 的代数式表示t 吗? (2)利用(1)的关系式完成下表:

(3)速度v 是时间t 的函数吗?为什么?

情境3:

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:

(1)一个面积为6400m 2的长方形的长a (m )随宽b (m )的变化而变化;

(2)某银行为资助某社会福利厂,提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额y (万元)随还款年限x (年)的变化而变化;

(3)游泳池的容积为5000m 3,向池内注水,注满水所需时间t (h )随注水速度v (m 3/h)的变化而变化;

(4)实数m 与n 的积为-200,m 随n 的变化而变化. 问题:

(1)这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同? (2)它们有一些什么特征?

(3)你能归纳出反比例函数的概念吗?

k

一般地,形如y =(k为常数,k ≠0) 的函数称为反比例函数,其中x 是自变量,y 是x 的函数,k 是

x 比例系数.

反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数 二、例题教学

例1:下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗?如果是,比例系数k 是多少?

2+1-1x 2 31x

(1)y= ;(2)y= ;(3)y=- ;(4)y= -3;(5)y= ;(6)y+2;(7)y= .

15x x x 32x x -1221-

例2:在函数y = -1,y = ,y =x 1,y =中,y 是x 的反比例函数的有个.

x x+12x

[说明]这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手,着重从形式上进行比较,识别一些反比例函数的变式, 如y =kx

-1

2-x 2

的形式. 还有y = -1通分为y = ,y 、x 都是变量,分子不是常量,故不是反

x x

2

比例函数,但变为y +1可说成(y +1)与x 成反比例.

x

例3:若y 与x 成反比例,且x =-3时,y =7,则y 与x 的函数关系式为 .

[说明]这个例题引导学生观察、讨论,并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法,初步感知用“待定系数法”来求比例系数,并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法,即只需已知一组对应值即可求比例系数.

三、拓展练习

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式,并判断其是否为反比例函数. 如果是,指出比例系数k 的值.

2

(1)底边为5cm 的三角形的面积y (cm )随底边上的高x (cm )的变化而变化;

(2)某村有耕地面积200ha ,人均占有耕地面积y (ha )随人口数量x (人)的变化而变化;

22

(3)一个物体重120N ,物体对地面的压强p (N/m)随该物体与地面的接触面积S (m )的变化而变化.

2、下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数?如果是,比例系数是多少?

22

(1)y =; (2)y ; (3)xy +2=0;

33x 2

(4)xy =0; (5)x =3y 3、已知函数y =(m +1)x

m 2 2

是反比例函数,则m 的值为 .

四、课堂小结

这节课你学到了什么?还有那些困惑? 五、布置作业:

六、教学反思:

第二课时 反比例函数的图像和性质(1)

[教学目标]

1、体会并了解反比例函数的图象的意义 2、能描点画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质 [教学重点和难点]

本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质

由于反比例函数的图象分两支,给画图带来了复杂性是本节教学的难点 [教学过程] 1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始:你还记得一次函数的图象吗? 在回忆与交流中,进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究:反比例函数的图象又会是什么样子呢? 2、探索活动

探索活动1 反比例函数y = 由于反比例函数y =

6

的图象. x

6

的图象是曲线型的,且分成两支.对此,学生第一次接触有一定的x

难度,因此需要分几个层次来探求:

(1)可以先估计——例如:位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等) 、趋势(上升、下降等) ;

(2)方法与步骤——利用描点作图;

列表:取自变量x 的哪些值? ——x 是不为零的任何实数,所以不能取x 的值的为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值。 描点:依据什么(数据、方法) 找点?

连线:怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。

探索活动2 反比例函数y =-

6

的图象. x

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动: (1)可以用画反比例函数y =

6

的图象的方式与步骤进行自主探索其图象; x

666

与y =-之间的关系,画出y =-的图象. x x x

66

探索活动3 反比例函数y =-与y =的图象有什么共同特征?

x x

(2)可以通过探索函数y =

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.

反比例函数y =

k

(k≠0) 的图象是由两个分支组成的曲线。当k >0时,图象在一、三象x

k

(k≠0) 的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 x

限:当k

反比例函数y =3、例题教学

课本安排例1,(1)巩固反比例函数的图象的性质。(2)是为了引导学生认识到:由于在反比例函数y =

k

(k≠0) 中,只要常数k 的值确定,反比例函数就确定了.因此要确定一个x

反比例函数,只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可.(3)可以先设问:能否利用图象的性质来画图? 4、应用知识,体验成功

练笔:课本“课内练习” 1.2.3 5、归纳小结,反思提高 用描点法作图象的步骤 反比例函数的图象的性质 6、布置作业

作业本(1) 课本“作业题”

三、「教学反思」:

第三课时 反比例函数的图像和性质(2)

教学目标:

1、巩固反比例函数图像和性质,通过对图像的分析,进一步探究反比例函数的增减性。 2、掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。 教学重点:

通过对反比例函数图像的分析,探究反比例函数的增减性。 教学难点:

由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移,又由于反比例函数图像分成两条分支,给研究函数的增减性带来复杂性。 教学过程: 一、复习:

1.反比例函数的图象经过点(-1,2),那么这个反比例函数的解析式为 ,图象在第 象限,它的图象关于 成中心对称.

2.反比例函数的图象与正比例函数的图象,交于点A (1,m ),则m = ,反比例函数的解析式为 ,这两个图象的另一个交点坐标是 .

66

3、画出函数y =和y =-的图像

x x

二、讲授新课

66

1、引导学生观察函数y =和y =-的表格和图像说出y 与x 之间的变化关系;

x x

6

(1)

y =

(2)

y =-

2、做一做:

1.用“>”或“<”填空:

(1)已知x 1, y 1 和x 2, y 2 是反比例函数 y =则 0 y 1 2.

(2)已知x 1, y 1和x 2, y 2是反比例函数

3

的两对自变量与函数的对应值.若 x 1

y =-x

的两对自变 量与函数的对应

值.若 x ,则 y . 1>x 2>02

2.已知( y 1 ),( y 2),( x )是反比例函数 x 2,x 1,3,y 3 - 2 的图象上的三个点,并且 y ,则 x 1,x 2,x 3

1>y 2>y 3>0y =

x 的大小关系是( ) (A ) (B ) x 3>x 1 x 2 > ; (D ) x 1>x 3

-2y =3.已知(1 y 1 ),( y ),( )是反比例函数 的大小,3,-2,y 23

x

y 1,y 2,y 3关系是 . 4.已知反比例函数 5 .(1)当x >5时,0;

y =

x

(2)当x ≤5时,则y 1, 或y < (3)当y >5时,x 的范围是 。

m

的x

图象交于A (-2,1)、B (1,n )两点(1)求反比例函数和一次函数的解析式

(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围

分析:因为A 点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解

2

析式y =-,又B 点在反比例函数的图象上,代入即可求出n 的值,最后再由A 、B 两点坐

x

标求出一次函数解析式y =-x -1,第(2)问根据图象可得x 的取值范围x <-2或0<x <1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。

3、讲解例题 如图, 一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =三、 小结:

四、比较正比例函数和反比例函数的性质

五、布置作业:见作业本

六 教学反思 :

第四课时 生活中的反比例函数

一、教学目标

1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点

1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式 3.难点的突破方法:

用函数观点解实际问题,一要搞清题目中的基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式),这一步很重要;二是要分清自变量和函数,以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值范围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。 三、教学过程:

寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然发现前面有一处冰出现了裂痕,小明立即告诉同伴分散趴在冰面上,匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗? 四、例习题分析

例1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P (千帕)是气体体积V (立方米)的反比例函数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位)

(1)写出这个函数的解析式;

(2)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?

(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?

分析:题中已知变量P 与V 是反比例函数关系,并且图象经过点A ,利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式,得P

96

,(3)问中当P 大于144千帕时,气球会爆炸,即当P V

2

立方米

3

不超过144千帕时,是安全范围。根据反比例函数的图象和性质,P 随V 的增大而减小,可先求出气压P =144千帕时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于

五、随堂练习

1.京沈高速公路全长658km ,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京,则汽车行完全程所需时间t (h )与行驶的平均速度v (km/h)之间的函数关系式为

2.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x 人完成这项任务,试写出人均报酬y (元)与人数x (人)之间的函数关系式

3.一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V (m 3)的反比例函数,当V =10时,ρ=1.43,(1)求ρ与V 的函数关系式;(2)求当V =2时氧气的密度ρ 答案:ρ=

六、课后练习

1.小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v (米/分),所需时间为t (分)

(1)则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系?

(2)若小林到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少?

(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位?

答案:v =

3600

,v =240,t =12 t

14. 3

,当V =2时,ρ=7.15 V

2.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完. 若每天的耗煤量为x 吨,那么这批煤能维持y 天 (1)则y 与x 之间有怎样的函数关系? (2)画函数图象

(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?

七、教学反思 :

第五课时 反比例函数复习

教学目标:

1、通过对实际问题中数量关系得探索,掌握用函数的思想去研究其变化规律

2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义,并解决与它们有关的简单的实际问题 3、让学生参与知识的发现和形成过程,强化数学的应用与建模意识,提高分析问题和解决问

题的能力。 教学重点:

反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。

教学难点:

运用函数的性质和图像解综合题,要善于识别图形,勤于思考,获取有用的信息,灵活的运用数学思想方法。 教学过程: 一、

知识回顾

1、什么是反比例函数?

2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗?与同伴交流。 二、练一练 1 、 反比例函数y=-2

的图象是 ,分布在第 象限,在每个象限x

内, y 都随x 的增大而 ;若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1

y

1

x

3、已知反比例函数 ,若1X1

4、如图在坐标系中,直线y=x+ 2 k 与双曲线 y =在第一象限交与点A , 与x 轴交于点C ,

x

AB 垂直x 轴,垂足为B ,且S △AOB =1 1)求两个函数解析式 2)求△ABC 的面积

6、已知反比例函数y =

k 1

的图象经过点(4, ) ,若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比x 2

例函数图象上的点B(2,m) ,求平移后的一次函数的图象与x 轴的交点坐标。 三、小结:

1、本节复习课主要复习本章学生应知应会的概念、图像、性质、应用等内容,夯实基础提高应用。

2、充分利用“图象”这个载体,随时随地渗透数形结合的数学思想. 四、布置作业: 五、教学反思:


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