一年级数学专题小结

(一)圆的标准方程

1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心,定长叫做圆的半径。

2. 圆的标准方程:已知圆心为(a,b),半径为r,则圆的方程为。

说明:

(1)上式称为圆的标准方程。

(2)如果圆心在坐标原点,这时a=0,b=0,圆的方程就是。

(3)圆的标准方程显示了圆心为(a,b),半径为r这一几何性质,即圆心为(a,b),半径为r。

(4)确定圆的条件

由圆的标准方程知有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定.因此,确定圆的方程,需三个独立的条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定型条件。

(5)点与圆的位置关系的判定

若点m(x1,y1)在圆外,则点到圆心的距离大于圆的半径,即

若点m(x1,y1)在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半径,即

3. 几种特殊位置的圆的方程

(二)圆的一般方程

任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:

将①配方得:

当时,方程①表示以()为圆心,以为半径的圆;

当时,方程①只有实数解,所以表示一个点();

当时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形。

故当时,方程①表示一个圆,方程①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:

(1)和的系数相同,且不等于0;

(2)没有xy这样的二次项。

以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件。

要求出圆的一般方程,只要求出三个系数d、e、f就可以了。

(三)直线和圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系

研究直线与圆的位置关系有两种方法:

(l)几何法:令圆心到直线的距离为d,圆的半径为r。

d>r直线与圆相离;d=r直线与圆相切;0≤d<r直线与圆相交。

(2)代数法:联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一元二次方程,其判别式为δ。

△<0直线与圆相离;△=0直线与圆相切;△>0直线与圆相交。

说明:几何法研究直线与圆的关系是常用的方法,一般不用代数法。

2. 圆的切线方程

(1)过圆上一点的切线方程是;

(2)过圆上一点的切线方程是

(3)过圆上一点的切线方程是

3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题

(1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

(2)求切线方程。若已知切点m(x0,y0),则切线方程为

若已知切线上一点n(x0,y0),则可设切线方程为,然后利用d=r求k,但需注意k不存在的情况。

(3)关于弦长:一般利用勾股定理与垂径定理,很少利用弦长公式,因其计算较繁,另外,当直线与圆相交时,过两交点的圆系方程为


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