-二次函数图像与性质

2013---2014学年初三第一轮复习专题之二次函数

2009--2013年苏州及无锡中考二次函数及其应用的分值与比率

考纲要求以及命题趋势

二次函数的图像与性质

重要知识点整理

知识梳理

一、二次函数的概念

一般地,形如y =______________(a ,b ,c 是常数,a ≠0) 的函数,叫做二次函数. 二次函数的两种形式:

(1)一般形式:____________________________;

(2)顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ,其中二次函数的顶点坐标是________.

PS :由于操作困难,所以对于其他几种常见的形式没能一一列举,所以在实际授课时请酌情添加。

四、二次函数图象的平移

抛物线y =ax 2与y =a (x -h ) 2,y =ax 2+k ,y =a (x -h ) 2+k 中|a |相同,则图象的________和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系如下:

五、二次函数关系式的确定

1.设一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) . 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0) ,将已知条件代入,求出a ,b ,c 的值.

2.设交点式:y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) .

若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ,将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a ,最后将关系式化为一般式.

3.设顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) .

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y =a (x -h ) 2

+k (a ≠0) ,将已知条件代入,求出待定系数化为一般式. 【考点探究】

考点一、二次函数的顶点与对称轴

【例1】(1)二次函数y =-3x 2-6x +5的图象的顶点坐标是( ) A .(-1,8) B .(1,8) C .(-1,2) D .(1,-4)

例2.(2013•舟山)若一次函数y=ax+b(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(﹣2,0),

2

例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c (a >0) 的对称轴为直线x =1,且经过点(-1,y 1) ,(2,y 2) ,试比较y 1和y 2的大小:y 1________y 2.(填“>”“<”或“=”)

-6b

解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.∵-2a 2× -3 -1,

4ac -b 24× -3 ×5--6 2

8, 4a 4× -3

∴二次函数y =-3x 2-6x +5的图象的顶点坐标是(-1,8) .故选A.

(2)点(-1,y 1) ,(2,y 2) 不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1,y 2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,然后再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y 3) ,∵抛物线对称轴为直线x =1,

∴点(0,y 3) 与点(2,y 2) 关于直线x =1对称.∴y 3=y 2. ∵a >0,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小. ∴y 1>y 3. ∴y 1>y 2. 答案:(1)A (2)>

方法总结 1.将抛物线解析式写成y =a (x -h ) 2+k 的形式,则顶点坐标为(h ,k ) ,对称

2

b b 4ac -b ⎫⎛轴为直线x =h ,也可应用对称轴公式x =-顶点坐标-,来求对称轴及顶点2a 4a ⎭⎝2a

坐标.

2.比较两个二次函数值大小的方法: (1)直接代入自变量求值法;

(2)当自变量在对称轴两侧时,看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断; (3)当自变量在对称轴同侧时,根据函数值的增减性判断. (4)根据开口方向以及所给点横坐标离对称轴距离直接判断

①当抛物线开口向上,所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越大 ②当抛物线开口向下,所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越小

触类旁通2 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( )

A .a >0

B .当x >1时,y 随x 的增大而增大 C .c <0

D .3是方程ax 2+bx +c =0的一个根 若A -

⎛13⎫⎛5⎫

,y 1⎪,B (-1,y 2),C ,y 3⎪为二次函数y =-x 2-4x +5的图象上的三点,⎝4⎭⎝3⎭

则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A.y 1

B.y 3

y 3

考点三、利用二次函数图象判断a ,b ,c 的符号

【例2】如图,是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a +b +c =0;②b >2a ;③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1;④a -2b +c >0. 其中正确的命题是__________.(只要求填写正确命题的序号

)

b

解析:由图象可知过(1,0),代入得到a +b +c =01,推出b =2a ;根据

2a 图象关于对称轴对称,得出与x 轴的交点是(-3,0) ,(1,0);由a -2b +c =a -2b -a -b =-3b <0,根据结论判断即可.

答案:①③

方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号,是二次函数中的一类典型的数形结合问题,具有较强的推理性.解题时应注意a 决定抛物线的开口方向,c 决定抛物线与y 轴的交点,抛物线的对称轴由a ,b 共同决定,b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况.当x =1时,决定a +b +c 的符号,当x =-1时,决定a -b +c 的符号.在此基础上,还可推出其他代数式的符号.运用数形结合的思想更直观、更简捷.

触类旁通3 小明从如图的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象中,观察得出了下面五个结论:①c <0;②abc >0;③a -b +c >0;④2a -3b =0;⑤c -4b >0,你认为其中正确的结论有( )

A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 考点四、二次函数图象的平移

【例3】二次函数y =-2x 2+4x +1的图象怎样平移得到y =-2x 2的图象( )

A .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 B .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移3个单位

解析:首先将二次函数的解析式配方化为顶点式,然后确定如何平移,即y =-2x 2+4x +1=-2(x -1) 2+3,将该函数图象向左平移1个单位,再向下平移3个单位就得到y

=-

2x 2的图象.

答案:C

方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换,因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标,然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作.

触类旁通4 将二次函数y =x 2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数解析式是( )

A .y =(x -1) 2+2 B .y =(x +1) 2+2 C .y =(x -1) 2-2 D .y =(x +1) 2-2 考点五、由表格判断二次函数图像特征

例1、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:

容易看出,(-2,0)是它与x 轴的一个交点,则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________. 触类旁通5二次函数y =ax 2+bx +c 图象上部分点的对应值如下表:

则使y

例1

、(2013•泰安)在同一坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+8x+b的图象2

2

触类旁通6(2013•攀枝花)二次函数y=ax+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是( )

考点七、二次函数与一元二次方程

例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1⎪,其顶点E 的横坐标为2,此抛物线

2与x 轴分别交于B (x 1,=16. 0),C (x 2,0)两点(x 1

⎛3⎫

⎝2⎭

1)求此抛物线的解析式及顶点E

的坐标;

(2)若D 是y 轴上一点,且△CDE 为等腰三角形,求点D 的坐标.

触类旁通7已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程

-x 2+2x +m =0的解为.

x

考点八、二次函数图像中面积问题

例1.(2013•聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=y=

经过平移得到抛物线

,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )

触类旁通8.(2009•娄底)如图,⊙O 的半径为2,C 1是函数y=x 的图象,C 2是函数y=﹣x 的图象,则阴影部分的面积是 _________ .

考点九、二次函数数形结合

16.(2012•兰州)二次函数y=ax+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,若|ax+bx+c|=k(k ≠0)有

2

2

2

2

触类旁通9.(2013•

齐齐哈尔)数形结合是数学中常用的思想方法,试运用这一思想方法确定函数y=x+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是( ) 2

考点十、确定二次函数的解析式

【例4】如图,四边形ABCD 是菱形,点D 的坐标是(03) ,以点C 为顶点的抛物线y =ax 2+bx +c 恰好经过x 轴上A ,B 两点.

(1)求A ,B ,C 三点的坐标;

(2)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式. 解:(1)由抛物线的对称性可知AE =BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA =EB =EA .

设菱形的边长为2m ,在Rt △AOD 中, m 2+3) 2=(2m ) 2,解得m =1. ∴DC =2,OA =1,OB =3.

∴A ,B ,C 三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,3) .

(2)解法一:设抛物线的解析式为y =a (x -2) 2+3,代入A 的坐标(1,0),得a =-3. ∴抛物线的解析式为y =-3(x -2) 23.

解法二:设这个抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知抛物线经过A (1,0),B (3,0),C (2,3) 三点,

⎧a +b +c =0,⎪

得⎨9a +3b +c =0,⎪⎩4a +2b +c =3,

⎧a =-3,

解这个方程组,得⎨b =43,

⎩c =-33.

∴抛物线的解析式为y =-3x 2+43x -33.

方法总结 用待定系数法求二次函数解析式,需根据已知条件,灵活选择解析式:若已知图象上三个点的坐标,可设一般式;若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标,可设交点式;若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小) 值,可设顶点式.

1

触类旁通10 已知抛物线y =-2+(6-) x +m -3与x 轴有A ,B 两个交点,且A ,

2B 两点关于y 轴对称.

(1)求m 的值;

(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标.

习题库

二次函数的图象和性质

一、选择题

1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对称轴为x =-正确的是【 】

1

。下列结论中,2

A .abc >0 B .a +b =0 C .2b +c >0 D .4a +c

2

2. 已知二次函数y =﹣x ﹣7x +

,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0<x 1<x 2<x 3,则对

应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是【 】

A .y 1>y 2>y 3 B .y 1<y 2<y 3 C .y 2>y 3>y 1 D .y 2<y 3<y 1

3. 如图,已知抛物线y 1=﹣2x +2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ;若y 1=y 2,记M =y 1=y 2.例如:当x =1时,y 1=0,y 2=4,y 1<y 2,此时M =0.下列判断:

①当x >0时,y 1>y 2; ②当x <0时,x 值越大,M 值越小; ③使得M 大于2的x 值不存在; ④使得M =1的x 值是其中正确的是【 】

2

A .①② B .①④ C .②③ D .③④

4. 已知二次函数y=a(x -2)+c(a >0),当自变量x

,3,0时,对应的值分别为

2

y 1,y 2,y 3,则y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是【 】

A . y 3

A . m 1

6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有【 】

2

A .3个 B .2个 C .1个 D .0个

7. 已知抛物线y =ax ﹣2x +1与x 轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】

A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限

2

2

8. 抛物线y =(x -1)+2的顶点坐标是【 】

A .(-1,2) B .(-1,-2) C .(1,-2) D .(1,2) 9. 如图为二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象,则下列说法: ①a >0 ②2a +b =0 ③a +b +c >0 ④当﹣1<x <3时,y >0 其中正确的个数为【 】

2

A .1 B .2 C .3 D .4

10. 如图,已知抛物线与x 轴的一个交点A (1,0),对称轴是 x =﹣1,则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】

A .(﹣3,0) B .(﹣2,0) C .x =﹣3 D .x =﹣2

11. 二次函数y =ax +bx +1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0).设t =a +b +1,则t 值的变化范围是【 】

A .0<t <1 B .0<t <2 C .1<t <2 D .﹣1<t <1

12. 若二次函数y =ax 2+bx +a 2-2(a ,b 为常数)的图象如图,则a 的值为【 】

2

A . 1 B .

2 C . -2 D . -2

13. 设二次函数y =x 2+bx +c ,当x ≤1时,总有y ≥0,当1≤x ≤3时,总有y ≤0,那么c 的取值范围是【 】

A . c =3 B . c ≥3 C . 1≤c ≤3 D . c ≤3 14. 对于二次函数y =2(x+1)(x-3) ,下列说法正确的是【 】

A . 图象的开口向下 B . 当x >1时,y 随x 的增大而减小 C . 当x

15. 如图,二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点B 坐标(﹣1,0),下面的四个结论:①OA =3;②a +b +c <0;③ac >0;④b ﹣4ac >0.其

2

2

中正确的结论是【 】

A .①④ B .①③ C .②④ D .①② (17题图) 16. 抛物线y =-3x 2-x +4 与坐标轴的交点个数是【 】 A .3 B .2 C .1 D .0

17. 如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】

A .y 的最大值小于0 B .当x =0时,y 的值大于1 C .当x =-1时,y 的值大于1 D .当x =-3时,y 的值小于0

18. 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,给出下列结论:① b 2-4ac >0;② 2a +b

(A ) ①② (B ) ②③ (C ) ③④ (D ) ①④

2

19. 二次函数y =ax +bx 的图象如图,若一元二次方程ax +bx +m =0有实数根,则m 的

2

最大值为【 】

A .-3 B .3 C .-6 D .9

20. 设A (-2,y 1) ,B (1,y 2) ,C (2,y 3) 是抛物线y =-(x +1) 2+a 上的三点,则y 1,y 2,

y 3的大小关系为【 】

A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 3>y 2>y 1 D .y 3>y 1>y 2 21. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论错误的是【 】 A . abc >0 B .3a >2b C . m (am +b )≤a -b D .4a -2b +c <0

22. 已知二次函数y =2(x ﹣3)+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x =﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x <3时,y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有【 】

A .1个 B .2个 C .3个 D .4个

23. 抛物线y =ax 2+bx -3经过点(2,4),则代数式8a +4b +1的值为【 】

A .3 B .9 C .15 D .-15 24. 如图,抛物线y 1=a (x +2)2-3与y 2=

2

1

(x -3)2+1交于点A (1,3),过点A 作x 2

轴的平行线,分别交两条抛物线于点B ,C .则以下结论:

①无论x 取何值,y 2的值总是正数;②a =1;③当x =0时,y 2-y 1=4;④2AB =3AC ;其中正确结论是【 】

A .①② B .②③ C .③④ D .①④

25. 二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示,则函数值y

2

A .直线x= B .直线x=-

121

C .y 轴 D .直线x =2 2

27. 已知二次函数y =a (x +1) 2-b (a ≠0)有最小值,则a ,b 的大小关系为【 】 A .a >b B .a <b C .a =b D .不能确定

28. 如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(-1,1) 、(2,-1) .下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】

A .当x =0时,y 的值大于1 B .当x =3时,y 的值小于0 C .当x =1时,y 的值大于1 D .y 的最大值小于0

29. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠O ) 的图象如图所示,现有下列结论:①abc >0 ②b 2-4ac 0,则其中正确结论的个数是【 】 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个

30. 抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点坐标是(-l ,0) 和(3,0) ,则这条抛物线的对称轴是【 】.

A .直线x =-1 8.直线x =0 C .直线x =1 D .直线x = 3 二、填空题

1. 二次函数y =x -2x +6的最小值是.

2. 已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在二次函数y =(x -1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则

错误!未找到引用源。 y 2错误!未找到引用源。.

3. 若抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A (2,1),且经过点B (1,0),则抛物线的函数关系式为 .

4. 对于二次函数y =x 2-2mx -3,有下列说法: ①它的图象与x 轴有两个公共点;

②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小,则m =1;

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m =-1;

④如果当x =4时的函数值与x =2008时的函数值相等,则当x =2012时的函数值为-3. 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)

2

2

5. 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的对称轴是直线x =1,其图象的一部分如图所示.下列说法正确的是 (填正确结论的序号) .

①abc <0;②a -b +c <0;③3a +c <0;④当-1<x <3时,y >0.

6. 二次函数y =x 2-6x +n 的部分图像如图所示,若关于x 的一元二次方程x 2-6x +n =0的一个解为x 1=1,则另一个解x 2.

7. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示.当y <0时,自变量x 的取值范围是 .

(9题图)

8. 当x =y =x +2x ﹣2有最小值.

9. 如图,在平面直角坐标系中,点A 是抛物线y=a(x -3)+k与y 轴的交点,点B 是这条抛物线上的另一点,且AB ∥x 轴,则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 10. 若抛物线y =ax +bx +c 经过点(-1,10) ,则a -b +c .

11. 已知二次函数y =-x -2x +3的图象上有两点A (-7,y 1) ,B (-8,y 2) ,则y 1

2

2

2

2

y 2. (用>、

三、解答题3.

1. 如图,抛物线y =x 2+bx +c 经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式;

(2)若与x 轴的两个交点为A ,B ,与y 轴交于点C .在该抛物线上是否存在点D , 使得△ABC 与△ABD 全等?若存在,求出D 点的坐标;若不存在,请说明理由

注:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-

b 2a

3

2. 已知二次函数y =(t+1)x 2+2(t+2)x +在x =0和x =2时的函数值相等。

2(1)求二次函数的解析式;

(2)若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A (-3,m) ,求m 和k 的值; (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B , C (点B 在点C 的左侧),将二次函数的图象在点B , C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n(n>0) 个单位后得到的图象记为C ,同时将(2)中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G 有公共点时,n 的取值范围。

2

3. 已知:y 关于x 的函数y =(k ﹣1)x ﹣2kx +k +2的图象与x 轴有交点.(1)求k 的取值范围;

(2)若x 1,x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标,且满足(k ﹣1)x 1+2kx 2+k +2=4x 1x 2. ①求k 的值;②当k ≤x ≤k +2时,请结合函数图象确定y 的最大值和最大值.

2

近5年中考真题训练

一、无锡专区

15.若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A (2,1) ,且经过点B (1,0) ,则此抛物线的函数解

析式子是 .

9.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1) 的是 ( ▲ ) A .y=(x-2) 2+1 B .y=(x+2)2+1 C .y=(x-2) 2-3 D .y=(x+2)2-3

10.如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=不等式

k

的交点A 的横坐标是1,则关于x 的x

k

+ x2+1

A .x>1 B .x

25.(本题满分10分) 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:张经理的采购价y(元/吨) 与采购量x(吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ,但包含端点C) .

(1)求y 与x 之间的函数关系式;

(2)已知老王种植水果的成本是2 800元/吨,那么张经理的采购量为多8000少时,老王在这次买卖中所获的利润w 最大? 最大利润是多少?

4000

O

24.(本题满分10分)如图,矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0),

BC= 设直线AC 与直线x =4交于点E .

(1)求以直线x =4为对称轴,且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式, 并说明此抛物线

一定过点E ;本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ :623300747.转载请注明! (2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ,

M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点,求 △CMN 面积的最大值.

24.(本题满分8分)

如图,在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A 、B 、C 、D 四个顶点正好重合于底面上一点) .已知E 、F 在AB 边上,是被剪去一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE =BF =x cm .

(1) 若折成的包装盒恰好是正方体,试求这个包装盒的体积V ;

(2) 某广告商要求包装盒的表面(不含下底面) 面积S 最大,试问x 应取何值?

26.(本题满分10分)如图,直线x =-4与x 轴交于E ,一开口向上的抛物线过原点O 交

线段OE 于A ,交直线x =-4于B .过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD:BD=1:3.

(1)求点A 的坐标;

(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.

27.(本题满分10分)如图1,菱形ABCD 中,∠A =600.点P 从A 出发,以2cm/s的速度沿边AB 、BC 、CD 匀速运动到D 终止;点Q 从A 与P 同时出发,沿边AD 匀速运动到D 终止,设点P 运动的时间为t s .△APQ 的面积s (cm2) 与t (s)之间函数关系的图像由图2中的曲线段OE 与线段EF 、FG 给出.

A

P

(图1)

s )

(1)求点Q 运动的速度;

(2)求图2中线段FG 的函数关系式;

(3)问:是否存在这样的t ,使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t 的值;若不存在,请说明理由.

二、苏州专区

16.已知点A(x 1,y 1 )、B (x 2,y 2 )在二次函数y =(x -1)+1的图象上,若x 1>x 2>1,则 y 1

▲ y 2(填“>”、“ = ”或 “

6.已知二次函数y =x 2-3x +m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0) ,则关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0的两实数根是 A .x 1=1,x 2=-1 C .x 1=1,x 2=0

B .x 1=1,x 2=2 D .x 1=1,x 2=3

2

24.(本题满分10分)如图,已知二次函数y =x 2-2x -1的图象的顶点为A .二次函数

y =ax 2+bx 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ,它的顶点B 在函数y =x 2-2x -1

的图象的对称轴上.

(1)求点A 与点C 的坐标;

(2)当四边形AOBC 为菱形时,求函数y =ax 2+

bx

29.(本题满分9分) 如图,以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B .已知A 、B 两点的坐标分别为(3,0) 、(0,4) .

(1)求抛物线的解析式;

(2)设M(m,n) 是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ,且它位于对称轴的右侧.若以M 、

B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M 的坐标; (3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P ,PA 2+PB2+PM2>28是

否总成立? 请说明理由.

29.(本题满分10分)已知二次函数y =a x 2-6x +8(a >0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ,

()

与y 轴交于点C .点D 是抛物线的顶点.

(1)如图①,连接AC ,将△OAC 沿直线AC 翻折,若点O 的对应点O' 恰好落在该抛物线

的对称轴上,求实数a 的值;

(2)如图②,在正方形EFGH 中,点E 、F 的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG 位于边

EF 的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点,则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;

(3)如图②,当点P 在抛物线对称轴上时,设点P 的纵坐标t 是大于3的常数,试问:是

否存在一个正数a ,使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.

27.(本题满分8分) 如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧

半 圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与⊙O 交于点D ,连接PA 、PB ,设PC 的长为x(2

⑴当x=5时,求弦PA 、PB 的长度; 2

(2)当x 为何值时PD ·CD 的值最大?最大值是多少?

29.(本题满分10分)如图,已知抛物线y =121b x -(b +1)x +(b 是实数且b>2)与x 444

轴的正半轴分别交于点A 、B(点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .

(1)点B 的坐标为C 的坐标为用含b 的代数式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是 以

点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两

个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

29.(本题满分10分)如图,已知抛物线y =12x +bx +c (b ,c 是常数,且c

别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的负半轴交于点C ,点A 的坐标为(-1,0) .

(1)b=B 的横坐标为c 的代数式表示);

(2)连接BC ,过点A 作直线AE ∥BC ,与抛物线y =12x +bx +c 交于点E .点D 是x 2

轴上一点,其坐标为(2,0) ,当C ,D ,E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点,连接PB ,PC ,设所得△PBC 的面积为S .

①求S 的取值范围;

②若△PBC 的面积S 为整数,则这样的△PBC 共有 ▲ 个.


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