圆截面抗弯问题

圆截面抗弯问题的研究

周莉

(机电学院 01016123) 指导教师:隋允康

摘要:本文研究了不规则截面的抗弯截面模量与面积的变化问题,试图在削减截面积的同时最大限度地避免对抗弯截面模量的影响,从而达到在保证结构刚度条件下节省材料的目的。结论是按照本文的削减方法,无法达到预期目的。但是此次研究的数据准确,可供其他研究者参考。

关键词:惯性矩;惯性积;抗弯截面模量

1 引言

圆形截面的结构经常在工程实际中被用于承担弯曲载荷,但其使用的材料较多,我们考虑在圆形截面上减去一部分面积,但使其对抗弯截面模量的影响不大。这样我们就可以用特定方式在某一范围内大量减少面积,从而达到减少用材而不影响力学性能的目的。设A为圆形截面面积,Wz为其抗弯截面模量,A*为削减后截面面积,Wz*为削减后

Wz∗A∗

。 抗弯截面模量,如果要求削减对抗弯截面模量的影响小于对面积的影响,则需>

WzA

2 理论论证

2.1 各圆内接情况

首先来研究图1情况,即用3个内接小圆代替外接大圆的

I

情况。小圆的直径为d。由于Wz=z,而近似地认为ymax在

ymax削减前后没有变化,因此用Iz代替Wz分析。

根据平行移轴公式Iz=Izc+a2A和几何关系,我们很容易得到Iz∗=

11πdπD(97+563)πd

,而圆形截面惯性矩为Iz=,=64649×64

则有:

4

4

4

y

z

图1

I1116===51% Iz(1+3)431

3

∗z

A=

2A

D4

π

d2

=

3

=65% (1+)2

3

从而得到

∗IzA∗

,说明用此种方法不行。

2.2 各圆相交情况

现在考虑使组成图形的3个圆相交的情况,相交部分的宽度为m,如图2所示。记

各圆连心线组成的等边三角形边长为l=d−m。此图形直接求惯性矩较困难,可分成几个部分分别计算(如图3)。

Z

1

图2 各圆相交图3 将图形分解

三角

现在令 α=arccos

d−m

d

rπ+β

β=

π

3

−α,则有:

1) 扇1的惯性矩:

Iz扇1=∫∫ydA=∫Iy扇1=∫∫zdA=∫

22

0−βrπ+β

r4

r(rsinθ)drdθ=[π+2β−sin2β]

8

2

0−β

r4

r(rcosθ)drdθ=[π+2β+sin2β]

8

2

并且由轴对称性质有 Izy扇1=0 2) 扇2、扇3的惯性矩:

Iz扇2=

Iz扇1+Iy扇1

2

+

Iz扇1−Iy扇1

2

r41

cos2γ−Izy扇1sin2γ=(π+2β+sin2β)

82

其中γ=±120D 3) 三角形①的惯性矩:

Iz三角1Iy三角1

lll43(tgα)=tg3α =

3622881l4l4=tgα=tgα 48296

并且由轴对称性质有 Izy三角1=0

4) 三角形②、③的惯性矩:

Iz三角1+Iy三角1Iz三角1−Iy三角1l4tgαtg2α

Iz三角2=+cos2γ−Izy三角1sin2γ=(−1)

221289

其中γ=±120D

5) 中间全等三角形的惯性矩:Iz全等=6) 各部分面积:

扇形:

d2

A1=(π+2β)

8(d−m)2tgα

A2=

4

A3=

(d−m)2

4

4l 96

三角形①、②、③: 中间等边三角形: 总面积:

A∗=A1+A2+A3

7) 由几何关系知,削减后截面形心轴与中间的全等三角形形心轴以及大圆形心轴

重合,联立以上式子并使用平行移轴公式可得任意m值的惯性矩:

22

a1a22

I=Iz扇1+aA1+2Iz扇2+A1+Iz三角1+a2A2+2Iz三角2+A2+Iz全等 22∗

z

(

21

)()

其中a1=

3

l,a2=3+tgα

l 6

3 数值试验

∗IzA∗

Iz 计算困难,编程计算。令m从0变化到5,间隔0.1。观察与的变

AIz

化。

表1 计算结果(m、A、I的值)

**A**/I 0 2.6 0.5246140.5381790.5513950.4 3 0.5892750.601418

0.6703070.6916890.7022490.7126660.7229560.7331192 4.6 0.7530680.7628672.3 4.9 0.791587 将结果画成图形,请见图4。

图4

计算结果图

4 结论

∗IzA∗

(1) 观察到与的变化非线性。

AIz

(2) 按照此方法进行削减,惯性矩的变化量总大于面积的变化量。

所以在本文讨论的面积削减方式下,不可能找到一个区域使面积的变化对惯性矩的影响较小。至于别的面积削减方法能否达到要求,有待进一步研究。

(责任编辑:张轩 李志建)

参 考 文 献

1 郑承沛. 材料力学. 北京工业大学出版社, 1994年12月

2 田文胜, 刘阳, 学勤. Visual Basic编程指南. 清华大学出版社, 2003.1 3 北京矿业学院高等数学教研组. 数学手册. 中国工业出版社, 1962.1


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