行列式解法技巧论文完整版

1行列式的基本理论

1.1行列式定义

定义 行列式与矩阵不同,行列式是一个值,它是所有不同行不同列的数的积的和,那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关,逆序数之和为偶数符号为正,逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成

a 11a 21 a n 1

j 1j 2 j n

a 12a 22 a n 2

a 1n =

j 1j 2 j n

a 2n a nn

(-1)

τ(j 1j 2 j n )

a 1j 1a 2j 2 a nj n

, 这里

表示对所有n 级排列求和.

1.2行列式的性质

1、行列式的行列互换,行列式不变;

a 11a 21 a n 1

a 12

a 1n

=a 11a 12 a 1n

a 21 a n 1a 22 a n 2

a 2n a nn

a 22 a 2n a n 2 a nn

2、互换行列式中的两行或者两列,行列式反号;

a 11 a i 1 a k 1 a n 1

a 12 a i 2

a 1n

a in

a 11 a k 1a i 1 a n 1

a 12 a i 2

a 1n

a in

a k 2 a kn

=-

a k 2 a kn a n 2 a nn

a n 2 a nn

3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;

a 11 ka i 1 a n 1

a 12 a n 2

a 1n a nn

a 11 a n 1

a 12 a i 2

a 1n

a in

ka i 2 ka in =k a i 1

a n 2 a nn

4、行列式的某两行或者某两列成比例,行列式为零;

a 11 a i 1 ka i 1 a n 1

a 12 a i 2

a 1n

a 11 a i 1

a 12 a i 2 a i 2

a 1n

a in

=0 a in

a in

=k

ka i 2 ka in

a i 1

a n 2

a nn

a n 1

a n 2 a nn

5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和

时,行列式可拆另两个行列式的和。

a 11 b 1+c 1

a n 1

a 12 b 2+c 2

a n 2

a 1n a nn

a n

a 12

b 2

a 1n

a 11

a 12 c 2

a 1n

c n

b n +c n =b 1

a n 1

b n +c 1

a n 1

a n 2 a nn a n 2 a nn

6、把一行的倍数加到另一行,行列式不变。

7、行列式有两行(列)相同,则行列式为零。

1.3 基本理论

1.a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =⎨2.降阶定理3.

A

B

A C

B D

⎧D , i ≠j

其中A ij 为元素a ij 代数余子式。

⎩0, i =j

=A D -CA -1B

O C

=A C

4.AB =A B

5.非零矩阵k 左乘行列式的某一行加到另一行上,则新的分块行列式与原来相等。 1.4几种特殊行列式的结果

1. 三角行列式

a 110 0a 11

a 12 a 1n a 22 a 2n 00

a nn

00

=a 11a 22 a nn (下三角行列式) =a 11a 22 a nn (上三角行列式)

a 21a 22

a n 1a n 2 a nn

2. 对角行列式

a 110 0

0 0

00 a nn

=a 11a 22 a nn

a 22

3.对称与反对称行列式

a 11

D =

a 21 a n 1

a 12

a 1n

a 22 a 2n a n 2 a nn

满足a ij =a ji (i =1, 2 n , j =1, 2 n ) ,D 称为对

称行列式

0a 21

D =a 31

a n 1

a 120a 32 a n 2

a 13 a 1n a 23 a 2n 0 a n 3

a 3n 满足a ij =-a ji (i , j =1, 2 n ) ,D 称为反

对称行列式。若阶数n 为奇数时,则D=0

1a 1

1a 2

2a 2

1a 3

2a 3

1a n

2

=a n

4.D n =a 12

a 1n -1

n -1

a 2

1≤j ≤i ≤n

∏(a

i

-a j )

n -1n -1a 3 a n

2行列式的计算技巧

2.1定义法

a 21

例1:计算行列式D =a 31

00

a 12a 22a 32a 42a 52

a 13a 23a 33a 43a 53

0a 24a 3400

0a 25a 35 00

解:由行列式定义知D =

j 1 j n

∑(-1) τ

(j 1, j 2, , j n )

且a 11a 14a 15=0, 所a 1j 1a 2j 2 a nj n ,

以D 的非零项j ,只能取2或3,同理由a 41=a 44=a 45=a 14=a 55=0,因而j 4j 5只能取2或3,又因j 1 j 5要求各不相同,故a j 1a j 2 a j 5项中至少有一个必须取零,所以D=0。

2.2化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤,如果第一行第一个元素为零,首先将第一行(或第一列) 与其它任一行(或列) 交换,使第一行第一个元素不为零,然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行,使第一列除第一个元素外其余元素全为零,再用同样的方法处理除去第

一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去,直至是它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。

a b b b b a b b

例2 计算行列式D n =b b a b

b b b a

解:各行加到第一行中去

a +(n -1) b a +(n -1) b a +(n -1) b D n =

b b

1

00 0a b

00 0

b a 000 a -b

=[a +(n -1) b ](a -b ) n -1

111 1b a b b

=[a +(n -1) b b b a b

b b b a

b a -b

=[a +(n -1) b ]b

b

a -b

例3 计算行列式

123 n -1234 D =345

n 1

n 12

n 12 n -2n -解:从倒数第二行(-1)倍加到第n 行

211

3 n -11

1 1

1 1-n

n 1-n

1 1

n (n +1)

200 0

211

3 n -11 1

11 1

n 1-n 1 1

1-n 1

1-n 1

1

n (n +1) 1=

2

-n

1

=n (n +1) 2

-n

1 1-n 1 1 1 1

-n

1-0 0

n -1

1

第一行的(-1)倍加各行上

11-n n n

n (n +1) 0 -n

2

-n 0

=

n (n +1)

(-1) n -1

2

n n

=(-1)

n (n -1) 2

(1+n ) n 2

2.3两条线型行列式的计算

除了较简单的行列式(如上、下三角行列式等)可以用定义直接计算,少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接用特殊的行列式的值来计算(如上(下)三角行列式等)或利用按行(列)展开定理降低行列式的阶数。

a 10

b 1 00

00 a n -1

00 . b n -1a n

a 2

例4 计算n 阶行列式 D =

0b n

解: 按第1列展开得

a 20D =a 1

00

b 2 a 3 00

00 0

00

b 1a 2 0

0b 2a 3 0

00 0

000

+b n (-1) n +10a n

b 3

a n -1b n -1

b n -1

 = a 1a 2 a n +(-1)b 1b 2 b n .

n +1

2.4箭型行列式的计算

对于形如

的所谓箭型(或爪形)行列式,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。

10

10 0

11 21

.

例5 计算行列式 D n =

n

0n -1 01

01

1

c n -c n -1

2 =D n

1c n -c 1

n

10 n

10 0

11

11- -

2n

20

00

 =(-1)

n (n -1)

2

n ! (1-

11- -) 2n

0n -1 0

2.5三对角行列式的计算

对于形如

的所谓三对角行列式,可直接展开得到两

项递推关系D n =αD n -1+βD n -2,然后采用如下的一些方法求解。

方法1 如果n 比较小,则直接递推计算

方法2 用第二数学归纳法证明:即验证n=1时结论成立,设n ≤k 时结论也成立,若证明n=k+1时结论也成立,则对任意自然数相应的结论成立

方法3 将D n =αD n -1+βD n -2变形为D n -pD n -1=q (D n -1-pD n -2) ,其中p +q =α, -pq =β 由韦达定理知p 和q 是一元二次方程

x 2-αx -β=0的两个根。确定p 和q 后,令f (x )=D n -pD n -1,则利用

f (n )=qf (n -1)递推求出f (n ),再由D n =pD n -1+f (n )递推求出D n 。

方法4 设D n =x n ,代入D n -αD n -1-βD n -2=0得x n -αx -β=0(称

n

之为特征方程),求出其根x 1和x 2(假设x 1≠x 2),则D n =k 1x 1n +k 2x 2,

这里k 1,k 2可通过n=1和n=2来确定。

1

αβ

α+β

1 00

0 000

000

例6 计算行列式 D n =

0 00

αβ α+β

00

.

α+β

1αβα+β

解:将行列式按第n 展开,有

D n =(α+β) D n -1-αβD n -2, D n -αD n -1=β(D n -1-αD n -2), D n -βD n -1=α(D n -1-βD n -2),

得 D n -αD n -1=β2(D n -2-αD n -3) = =βn -2(D 2-αD 1) =βn 同理,得 D n -βD n -1=αn ,

⎧(n +1) αn , α=β; ⎪n +1

D =所以 n ⎨α-βn +1

, α≠β. ⎪α-β

2.6利用范德蒙行列式

范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行(或列)元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时,可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值

1x 1+1

1x 2+1x 2+x 2

n -2

2

2

1x n +1x n +x n

n -1

例7 计算行列式 D =

x 1

x 1+x 1

n -1

2

.

+x 1x 2

n -1

+x 2

n -2

x n +x n

n -2

解:把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此推直到把新的第n -1行的-1倍加到第n 行,便得范德蒙行列式

1x 1

D =x 12

x 1n -1

1x 2

2x 2

1x n

2x n =

n ≥i >j ≥1

(x i -x j ) .

n -1n -1

x 2 x n

2.7 Hessenberg 型行列式的计算

对于形如

的所谓Hessenberg 型行列式,可直接展开得到递推公式,也可利用

行列式的性质化简并降阶。

1

22

3-2

n -2-(n -2)

n -1

-(n -1)

n -1

n

1-1

例8 计算行列式 D n =

解: 将第1,2··n-1 列加到第n 列,得

1D n =

22

3-2

n -2-(n -2)

n -1-1

n (n +1) =∙(-1) 1+n

2

2

-(n -2)

n -1

n -1

1-1

n (n +1) 2

=(-1)

n +1

(n +1)!

2

2.8降阶法

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用,即先利用性质将行列式的某一行(或某一列) 化成仅含一个非零元素,然后按此行(列) 展开,化成低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

1a a

2

1b b

2

1c c

2

1d d

2

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d )

a 4b 4c 4d 4

左边

1=a a 24

0b -a b 2-a 24

4

0c -a c 2-a 24

4

0d -a d 2-a 24

4

b -a

=

b 2-a 2

c -a c 2-a 2

d -a d 2-a 2

(b 2+a 2)(b 2-a 2) (c 2+a 2)(c 2-a 2) (d 2+a 2)(d 2-a 2)

a

b -a

c -a

d -a

1

11=(b -a )(c -a )(d -a ) b +a

c +a

a +d

(b 2+a 2)(a +b ) (c 2+a 2)(c +a ) (a 2+d 2)(d +a )

=(b -a )(c -a )(d -a )(d -b )

11

(c 2+bc +b 2) +a (c +b ) (a 2+bd +b 2) +a (b +d )

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d )

例9 计算行列式

a 1+a 2

a 1+a n D 2+a 1

0 a 2+a n

n =

a ,其中n ≥2,∏a i ≠0

i =1

a n +a 1

a n +a 2

解:

⎡⎢-2a 1⎤⎥⎡a 1+a 1a 1+a 2 a 1+a n ⎤

D -2a ⎢2 a 2+a ⎥n n =⎢⎢⎥+⎢a 2+a 1a 2+a 2⎥⎢ ⎥ ⎥

⎣-2a ⎥⎢⎢

n ⎦⎣a n +a 1a n +a 2

a ⎥

n +a n ⎦⎡-2a ⎤=⎢1

⎢-2a 2

⎥⎡⎢a a 11⎤

-1⎢ ⎥+⎢21⎥⎛10⎫⎛1 ⎥ 01⎪ a 1 1⎫ 2 a n ⎪⎣

-2a ⎥⎭

⎦⎢⎭⎝a 1n ⎣a n 1⎥⎝⎦

-2a 1

-2a 2

⎛-2a 1

⎫-1

D -2a n ⎛ 1⎫

-2a ⎪⎛2

⎪ a 1n =

10 10 ⎫⎛1

⎝01⎪⎪⎭+ ⎝a 1

a ⎪n ⎪⎭

⎪ 01

-2a ⎪⎝a n n ⎪⎭

⎫ ⎪⎪⎪⎭

11

n 1-2

=(-2) n ∏a i n

1i =1-∑a j 2j =1

1n -1-∑a k

n ⎡⎤2k =1n -2-1

=(-2) ∏a i ⎢(n -2) 2-∏a j ⋅a k ⎥ n i =1j , k =1⎣⎦1-2

2.9加边法(升阶法)

行列式计算的一般方法是降阶,但对于某些特殊的n 阶行列式,如除对角元(或次对角元)外,其余元素相同或成比例的行列式,有时加上一行一列变成n+1阶的行列式,特别是第1列为(1, 0,... 0)并

T

适当选择第1行的元素,就可以使消零化简单方便,且化简后常变成箭型行列式,这一方法称为升阶法或加边法

x +a 1a 1

a 2x +a 2a 2 a 2

1-1

r i -r 1(i =2, , n +1) -1

-1

n

a 3a 3 a 3

a 1x 0 0

a n a n a n

例10 计算n 阶行列式D n =a 1

a 1

1a 1

D n

a n

x +a 3

.

x +a n a 2 a n 0x 0

00 x

解:D n +1=

0 0

+∑

j =1

a j x

a 1 a n x 0

n a ⎛

0=x 1+∑j

j =1x ⎝

n

=

0 0

⎪⎪. ⎭

x

2.10计算行(列)和相等的行列式

对于各行(或各列)之和相等的行列式,将其各列(或各行)加

到第1列(或行)或第n 列(或行),然后再化简。

11 1011 01

例11 计算n 阶行列式D n =

10 1101 1111 1n -111 0n -1

解: D n c n +c i (i =1, 2 n -1)

10 1n -101 1n -110

r i -r 1(i =2, 3 n )

0-1

10 -1 0

1 00

n -0 00

(n +2)(n -1)

2

-1

=(-1)

n (n -1) 2

(-1) (n -1) (n -1) =(-1)

(n -1)

以下不作要求

2.11 相邻行(列)元素差1的行列式计算

以数字1,2,··n 为(大部分)元素,且相邻两行(列)元素

差1的n 阶行列式可以如下计算:自第1行(列)开始,前行(列)减去后行(列);或自第n 行(列)开始,后行(列)减去前行(列),即可出现大量元素为1或—1的行列式,再进一步化简即出现大量的零元素。

对于相邻行(列)元素相差倍数k 的行列式,采用前行(列)减去后行(列)的—k 倍,或后行(列)减去前行(列)的—k 倍的步

骤,即可使行列式中出现大量的零元素。

1a n -1

a 1a n -1 a 3a 2

a 2 a n -2a 1 a 4

a n -3 a n -4

1

a n -1a n -2a n -3 a 1

例12 计算n 阶行列式D n =

a n -2 a 2a

a 3 a n -1

-a n

00 0a

01-a n

0 0a 2

001-a n

0a 3

000 1-a n

a n -1

000 01

=(1-a n ) n -1

D n r i -ar i +1(i =1, 2 n -1)

2.12线性因子法

x 0z y

y z 0x

z y x 0

+x

11-x 11

111+z 1

1111-z

x y z

111

例13 计算行列式(1)

(2)

解:(1)由各列加上第一列可见,行列式D 可被x +y +z 整除。由第二列加到第一列,并减去第三、四列可见,D 可被y +z -x 整除,由第三列加于第一列,并减去第二、四列可见,D 被x -y +z 整除。最后由第四列加于第一列,并减去第二、三列可见,D 可被x +y -z 整除。我们把x , y , z 视为独立未知量,于是上述四个线性因子式是两两互素的,因此,D 可被它们的乘积(x +y +z )(y +z -x )(x -y +z )(x +y -z ) 整除。

此乘积中含有一项:-z 4,而D 中含有一项:(-1) c z 4=z 4 所以D =-(x +y +z )(y +z -x )(x -y +z )(x +y -z )

=x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2

2

4

(2)将行列式D 的前两行和两列分别对换,得

-x D =

111

11+x 11

111+z 1

1111-z

如果以-x 代替x ,又得原来形式的行列式。因此,如果D 含有因式x ,必含有因式-x ,由于当x =0时,D 有两列相同,故D 确有因式

x ,从而D 含有因式x 2。同理D 又含有因式z 2,而D 的展开式中有一

项:x 2z 2,从而D =x 2z 2

1 1-x 1

11

例14 计算行列式:Dn =

(n -1) -x

解:由n 阶行列式定义知,D n 的展开式是关于x 的首项系数为

(-1) n -1的(n -1) 次多项式D n (x ), 当x =k (k =0, 1, 2 n -2) 时,D n (k ) =0, 因此D n (x ) 有n -1个互异根0,1、2„n -2由因式定理得∏(x -k ) |D n (x )

k =0n -2

n -2

故 D n =(-1) n -1∏(x -k )

k =0

2.13辅助行列式法

f 1(a 1)

f 1(a n )

例15 计算行列式 D n =

f n (a 1) f n (a n )

其中f i (x )(i =1, α n ) 为次数≤n -2的数域F 上多项式a 1 a n 为F 中任意n 个数。

解:若a 1 a n 中有两个数相等,则D n =0

若a 1 a n 互异,则每个n 阶行列式

f 1(x ) f 1(α2) f 1(a n )

G (x ) = 是f 1(x ), f 2(x ) f n (x )

f n (x ) f n (a 2) f n (a n )

的线性组合,据题f i (x ) 的次数≤n -2(i =1 n ) 因而G (x ) 的次数≤n -2, 但G (a 2) = =G (a n ) =0,

这说明G (x ) 至少有(n -1) 个不同的根,故G (x ) =0, 所以G (a 1) =0即

D n (x ) =0

2.14 n 阶循环行列式算法

a b b b c c

a b b c

c b

例16 计算行列式D n =c c a b 其中abc ≠0. b ≠c

c a

解:设f (x ) =a +b (x +x 2+ +x n -1) 且令x n -=0的n 个根为

x i (i =1 n ), 则D n =∏f (x i )

i =1n

c c

-x

x n -x +由f (x ) =a +b () =a +b []有 x -1x -1x -1

x n -

c -x i

(a -b ) x i +(c -a )

f (x i ) =a +b b =

x i -1x i -1

利用关系式∑x i =∑x i x j = =∑x i 1x i 2 x i , n -1=0 x 1x 2 x n =(-1) n +1

n

c

b

n

得D n =∏

i =1

(a -b ) x i +(c -a )

=

x i -1

∏[(a -b ) x +(c -a )]

i

i =1

∏(x -1)

i

i =1

n

c

(-1) n +1(a -b ) n +(c -a ) n n n

c (a -b ) -b (a -c ) ==

c -b (-1) n +1+(-1) n b

例17 设f ij (x ), (i , j =1, 2, , n ) 都是x 的可微函数

f 11(x )

f 1n (x )

f 11(x ) f 12(x ) f 1n (x )

n

d f 21(x ) f 22(x ) f 2n (x ) d d

=∑证明:f i 1(x ) f in (x )

dx dx i =1dx

f n 1(x ) f n 2(x ) f nn (x )

f n 1(x ) f nn (x )

证明:

f 11(x ) f 12(x ) f 1n (x )

d f 21(x ) f 22(x ) f 2n (x ) d

=[∑(-1) τ(j 1j 2 j n ) f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x )]

dx dx j 1 j n

f n 1(x ) f n 2(x ) f nn (x )

=

j 1j 2 j n

∑(-1) τ(j 1j 2 j n )

d

[f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x )]dx

=

j 1j 2 j n

(-1) τ(j 1j 2 j n ) [

d d

f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x ) + +(f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f n -1jn -1(x )(f njn (x ))]dx dx

=

j 1j 2 j n

(-1) τ(j 1j 2 j n ) (

d

f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x ) + +dx

j 1j 2 j n

∑(-1) τ(j j j ) f 1j 1(x ) f n -1jn -1(x )

12

n

d

f njn (x ) ) dx

d

f 11(x ) dx f 21(x )

f n 1(x )

d d f 12(x ) f 1n (x ) dx dx

f 2n (x ) f 22(x )

f n 2(x )

f 11(x )

f 12(x )

f 1n (x )

=

d

f (x ) +dx 21

f nn (x )

f n 1(x ) d d f 22(x ) f 2nn (x )

+ +dx dx

f n 2(x ) f nn (x )

f 11(x ) f 21(x ) f 12(x ) f 22(x )

f 1n (x ) f 2n (x )

n

f 11(x )

f 12(x )

f 1n (x )

d =∑f i 1(x )

d d

f i 2(x ) f in (x ) f n -1, 1(x ) f n -1, 2(x ) f n -1, n (x ) dx d

d i =1dx

dx

dx

f n 1(x ) dx f d

n 2(x ) dx

f nn (x )

f n 1(x ) f n 2(x )

f nn (x )

2.15有关矩阵的行列式计算

例18 设A 与B 为同阶方阵: 证明:A B B

A

=A +B ⋅A -B 证明:

A B A +B B +A A +B 0B

A

=B

A

=

B

A -B

=A +B A -B

例19设A 为n 阶可逆方阵,α、β为两个n 维列向量,则

A +αβ'=(1+β'A -1a ) A

证明:

A α

-β'1=A

α

(n +1)(n +1'A α

=A (1+β'A -1)

01+β-1

α) 例20 若n 阶方阵A 与B 且第j 列不同。 证明:21-n A +B =A +B

a a b 证明:A +B =2*a 1+b +b 122b 1 2*a 1 =2*

2 2*+2*

2 2*

a n +b n

an

bn

a 1

b 1

=2n -1 *+2n -1 * =2n -1(A +B )

an bn

∴21-n A +B =A +B 2.16用构造法解行列式

例21 设f (x ) =(a 1-x )(a 2-x )(a 3-x ), a ≠b

a 1b

a b

a a =a 3

证明:D =b a 2

a ⋅f (b ) -bf (a )

a -b

证明:构造出多项式:

a 1+x

D (x ) =b +x

b +x a 1=b b a 1=b b

a +x a 2+x b +x

a +x a 3+x

a 1+x b +x 1a -a 11

a -a 1a 2-b 0a -a 1a -b a 3-b

a -a 1a -b a 3-b

a +x =b +x

a -a 1a 2-b 0a a 2b

a -a 1a 3-b a a 3

a -b +x 1a 2-b

1a -a 11

a -a 3a -b a 3-b

a +x 1a 2-b

⇒D (x ) =D +xD 1

⎧a 1+(-a ) 00⎪

a 2+(-a ) 0=(a 1-a )(a 2-a )(a 3-a ) =D -aD 1=f (a ) ⎪当x =-a , D (-a ) =b -a

⎪b -a b -a a 3-a ⎪⎨

a 1-b a -b a -b ⎪

⎪当x =-b , D (-b ) =0a 2-b a -b =(a 1-b )(a 2-b )(a 3-b ) =D -bD 1=f (b ) ⎪

00a 3-b ⎪⎩

⇒D =

af (b ) -bf (a )

a -b

2.17利用拉普拉斯展开

x 0

-1x 0a n -1

0-1 0

00 x

00 -1a 1+x

例22 证明:n 级行列式D =

0a n

a n -2 a 2

证明:利用拉普拉斯展开定理,按第n 行展开有:

-1x

D n =(-1) n +1a n

00

0 000

0 0

0 00x 00

00 x

000- 0

x

000

x 0 00

0 0 000

x 00

00 x

00 + +0-0 00

00 x

-1 0

-10 0-10 00

+(-1) n +2a n -1

0 -10 -1x -1

x -1

(-1) n +(n -2) a 2

00

-1 0

+(-1) n +(n -1) (a 1+x )

x - 0-=(-1) n +1a n (-1) n -1+(-1) n +2a n -1(-1) n -2x + +(-1) n +(n -2) a 2(-1) x n -2+(-1) n +(n -1) (a 1+x ) x n -1=a n +a n -1x +a n -2x 2+ +a 2x n -2+a 1x n -1+x n

以上等式右端的n -1级行列式均为“三角形行列式”。

计算行列式的方法很多,也比较灵活,上面介绍了计算行列式的几种方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。

3 用多种方法解题

下面我们运用上面的介绍的各种方法,选用多种方法解题。

x a a a a

x a a

例23 计算:D n =a a x a

a a a x

法1:将第2,3, „,n 行都加到第1行上去,得

x +(n -1) a

a

D n =

a a

x +(n -1) a x +(n -1) a

x a a

a a x

11 1a

x a

=[x +(n -1) a ]a a a

a a x

再将第一行通乘-a ,然后分别加到第2,3, „,n 行上,得

1

D n =[x +(n -1) a ]0

10 0

100

=(x -a ) n -1[x +(n -1) a ]

0x -a

x -a

法2:将2,3, „,n 行分别减去第1行得

x a -x D n =a -x

a -x

a x -a 0 0

a 0 0

a 00 x -a

x -a

再将第2,3, „,n 列都加到第1列上去,

x +(n -1) a

a x -a 0 0

a 0 0

a 00 x -a

=[x +(n -1) a ](x -a ) n -1

便有D n =

0 0

x -a

法3:将D n 添加一行及一列,构成(n +1) 阶行列式

1a a a 0x a a D n =0a

x a

0a a x

再将第2,3, „, n +1行分别减去第1行,于是有

1

a 0 0

a 0 0

a 00 x -a

-1x -a

令D n =-1

-1

x -a

在x =a 时,显然D n =0,在x ≠a 时,

21

D n =(x -a ) n -1

-1

a x -a -111

0 0

a

x -a 0 1 0a x -a 10 0

a x -a 00 1

a x -a 00

1

=(x -a ) n

na +

x -a 0

0 0

a

x -a 0 1 0

=[x +(n -1) a ](x -a ) n -1

法4:令

(x -a ) +a D n =

0+a 0+a x -a =

0 0

0 0

0+a 0+a

00 x -a

+a

1a -x 0 00

x -a

0+a 0+a

(x -a ) +a

1

100 x -a a -x

100 0x -a

x +a a -x 00

(x -a ) +a

将右式中第二个行列式的第2,3, „,n 列全加到第1列上去,再利用Laplace 展开,所以得D n =(x -a ) n +na (x -a ) n -1=[x +(n -1) a ](x -a ) n -1

a 11

a 2 a n 01 0

00 1

0b 1

b 2=(-1) b n

n +1

例24 求证0

∑a b

i =1

n

i i

证:若记A =(a 1, a 2, , a n ) ,B =(b 1, b 2 , b n ) 时,上述等式可简记为

A z n

0B

=(-1) n +1AB

证法一:把第2行乘以(-a 1) ,第3行乘以(-a 2) ,„,第n +1行乘

22

以(-a n ) ,全部加到第一行,再对第1行利用拉普拉斯定理展开,注意各项的符号应为(-1) 1+n +1+1=(-1) n +1,得证。

证法二:对n 用归纳法

当n =1时,

a 10

0b 1

=(-1) 1+1a 1b 1,命题成立。

假设对于n 时命题成立,那么,当左下角单位矩阵为n +1阶(即z n ) 时,对最后一行展开,

a 1

A z n

0B

=(-1) 2n +2b n

1 0

a 2 a n -10 0

0 1

a n 0 0

+(-1) 2n +1⋅1⋅

a 11 0

a 2 a n -10 0

0 1

0b 1 b n -1

=D 1+D 2

其中D 1=(-1) 2n +2+1+n a n b n =(-1) n +1a n b n , 而按归纳法假设

D 2=(-1)

2n +1

⋅(-1)

n -1+1

∑a b

j j =1

n -1

j

=(-1)

n +1

∑a b

j j =1

n -1

j

证毕。

证法三:利用分块矩阵的乘法

⎛A

z ⎝n

0⎫⎛z n ⎪ ⎪B ⎭ ⎝0

-B ⎫⎛A

⎪= ⎪1⎭ ⎝z n

-AB ⎫

⎪ ⎪0⎭

两边取行列式,得

A z n

0B

⋅1=

A z n

-AB 0

=(-1) n +1

AB 0

A z n

=(-1) n +1AB

在演算一个问题时,需要仔细分析已给的条件,灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧,不要死套公式,这样就能很快求出答案。

23


相关范文

  1. 行列式解法技巧论文

    线 性 代 数 行列式的解法 班 级:机电09-1班 姓 名:王成孝 学 号:[1**********]9 行列式解法技巧 摘 要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,在数学中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文先阐述行列式的基本性质,然后介绍各种具体的方法,最后由行列式与其 ...

  2. 数学毕业论文题目

    数学毕业论文题目 1.数学中的研究性学习 2.数字危机 3.中学数学中的化归方法 4.高斯分布的启示 5.a2+b2≧2ab 的变形推广及应用 6.网络优化 7.泰勒公式及其应用 8.浅谈中学数学中的反证法 9.数学选择题的利和弊 10.浅谈计算机辅助数学教学 11.论研究性学习 12.浅谈发展数学 ...

  3. 初中语文议论文阅读答题技巧与练习_完整版

    初中语文议论文阅读答题技巧与练习 第一部分议论文答题技巧 一.议论文的三要素:论点.论据.论证. 二.论证方法:道理论证.举例论证.对比论证.引用论证.比喻论证. 三.论证方式:立论.驳论.(议论文可由此标准分为立论文与驳论文二大类.) 四.常见题型及答题技巧. 1.分析论证方法的作用:作用二个要点 ...

  4. 阶非齐次常系数微分方程解的表达式

    2009年10月 第30卷第5期湘南学院学报JournalofXiangnanUniversityOct.,2009V01.30No.5 二阶非齐次常系数微分方程解的表达式 樊自安 (孝感学院数学与统计学院,湖北孝感432000) 摘要:给出了二阶非齐次常系数微分方程解的表达式,利用解的表达式,可以 ...

  5. 浅谈高中数学答题技巧

    浅谈高中数学答题技巧 姓名 张重杰 指导教师 史瑞东 (吕梁高级实验中学理科1415班 山西 离石 033000) 摘要解题是深化知识.发展智力.提高能力的重要手段.规范的解题能够养成 良好的学习习惯,提高思维水平.在高中数学学习过程中做一定量的练习 题是必要的,但并非越多越好,题海战术只会加重学生 ...

  6. 行列式的性质及应用

    唐山师范学院本科毕业论文 题 目 行列式的性质及应用 学 生 王 峰 指导教师 陈 军 副教授 年 级 2006级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2008年5月 郑重声明 本人的毕业论文(设计)是在指导教师陈军老师的指导下独立撰写完成 的.如有剽窃. ...

  7. 浅谈提高小学数学课堂效率的途径毕业论文格式

    1 一例多说,养成解题的思维习惯   语言和思维密切相关,语言是思维的外壳,也是思维的工具。语言可以促进思维的发展,反过来,良好的逻辑思维,又会引导出准确、流畅而又周密的语言。在教学实践中,不少老师只强调“怎样解题”,而忽视了“如何说题(说题意、说思路、说解法、说检验等)”。看似这是重视解题,实则这 ...