高等桥梁结构理论作业汇总

高等桥梁结构理论课程作业参考答案(2014版)

【作业1】

如图1所示薄壁单箱断面,试分别计算:(1)该截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下的正应力(注:平截面假定成立。);(2)该截面在竖向剪力Q y =100kN 通过截面中心作用下的剪应力分布。

图1 薄壁单箱断面几何尺寸(单位:cm )

【参考答案】

由于该截面关于y 轴对称,故需要确定主轴ox 轴的位置,假定ox 轴距离上翼缘中心线为a ,由x =0,得

11

(2. 5+3. 0+2. 5) δ⋅a +2⨯a 2δ-3. 0⨯δ(2-a ) -2⨯(2-a ) 2δ=0

22

0. 8a +0. 1a 2-0. 6+0. 3a -0. 4-0. 1a 2+0. 4a =0

1. 5a =1. 0,即a =0. 667m

由ANSYS 计算截面几何特性参数,计算结果如图2所示。具体几何特性计算结果为:

竖向抗弯惯性矩为I x =1. 064⨯108(cm 4) =1. 064(m 4) , 横向抗弯惯性矩为I y =5. 370⨯108(cm 4) =5. 370(m 4) , 扭转常数为:I y =1. 47⨯108(cm 4) =1. 470(m 4) , 截面几何中心至顶板中心线距离为a =0. 667(m ) 。

(1)截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下,由初等梁理论可知,截面正应力分布由下式 计算,即

σz =

M x 100, 000

y =y =93984. 96y (Pa ) (-1. 333m ≤y ≤0. 667m ),具体截面正I x 1. 064

应力分布如图3所示。

Y

Sig1=62688Pa

O Sig2=125282Pa

图2截面在竖向弯矩M x

=100kN ⋅

m 作用下正应力分布图

(2)截面在竖向剪力Q y =100kN

作用下,闭口截面弯曲剪应力计算公式可知,截面剪应力为

Q y

-S x +q =

I x ⎝⎫ds ⎪⎪ ds ⎪δ⎪⎭

S x

划分薄壁断面各关键节点如图3(a )所示。将截面在1点处切口,变为开口截面,求S x 、

δ

ds

δ

S x

ds 。作y 图如图3(b )所示。

(a )薄壁断面节点划分图(单位:cm )

Y

0.667

O -1.333

(b )y 图(单位:cm )1.2862*0.1*3

Y

0.10005

0.1668

9

0.289

0.2668

-0.1668

8

-0.2668

-0.10005

-0.2

X

0.2

0.2

(c )点1处开口对应的S x 图(以s 绕几何中心逆时针方向为正,单位:cm 3)

Y

-94.03

-156.77

9

-271.62

-250.75

3

8

250.75

94.03

271.62

187.97

4

-187.97

(d ) 闭口截面剪应力图(单位:kPa )

图3薄壁截面剪应力计算图式(注:剪力流为正时,对应逆时针方向;剪力流为负对应顺时针方向)

187.97

由S x =

s

ydF 可求出该开口截面各点处的S x (以s 绕截面几何中心逆时针方向为正),即

S x (1) =0,S x (9) =0,S x (10) =0;

S x (2右) =⎰

-b /2

a ⨯δ⨯d (-x ) =

ba δ

=0. 10005(m 3) ; 2

S x (2左) =-⎰a ⨯δ⨯dx =-ad δ=-0. 677⨯2. 5⨯0. 1=-0. 16675(m 3)

d

S x (2下) =⎰

-(d +b /2)

a ⨯δ⨯d (-x ) =a (d +b /2) δ=0. 2668(m 3)

a 2δS x (3) =S x (2下) +⎰y δd (-y ) =S x (2) +=0. 2668+0. 02224445=0. 289(m 3)

a 2S x (4) =S x (3) +⎰

S x (5) =S x (4) +⎰

-y x

2

y x δ

y δd (-y ) =S x (3) -=0. 289-0. 08884445=0. 20015(m 3)

2

0b /2

-b /2

(-y x ) δdx =S x (4) -y x δb =0. 20015-1. 333⨯0. 1⨯3. 0=-0. 200(m 3)

2y x δ

S x (6) =S x (5) +⎰y δdy =S x (5) -=-0. 200-0. 08884445=-0. 289(m 3)

-y x

2

S x (7下) =S x (6) +⎰

S x (7左) =-

a

a 2δ

y δdy =S x (6) +=-0. 289+0. 02224445=-0. 2668(m 3)

2

ab

δ=-0. 10005(m 3) 2

S x (7右) =ad δ=0. 16675(m 3)

故在1点处切口对应的开口截面各点处的S x 如图3(c )所示。现求

δ

S x

ds ,考虑到S x

关于y 轴反对称,故

δ

S x

ds =0,即

S x

ds

=0。即截面在竖向剪力Q y =100kN 作用下

δ

ds

的剪应力为τ=

q

δ

=-

Q y

δI x

S x =-939. 85S x (kPa ) ,具体分布如图3(d )所示。从图3(d )

中可以看出,单箱薄壁截面腹板剪应力较大,而翼缘板靠近腹板处剪应力较大,向两侧逐渐减小。

【作业2】

应用ANSYS 软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在(工况一)梁端作用集中载和(工况二)梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4,1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布,并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。(略!)

【作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁,计算跨径为40m ,沿梁长等截面。截面尺寸如4所示。采用C40混凝土,剪切模量为G =1. 445⨯10MPa ,弹性模量为E =3. 40⨯10MPa 。荷载为跨中作用一偏心荷载P =451. 0kN ,偏心距为e =2. 35m (计算约束扭转时,可简化为集中力矩M k =1059. 85≈1060. 0kN ⋅m )

4

4

图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸(单位:cm )

图5 截面划分及计算尺寸(单位:cm )

【参考答案】 1)截面几何特性计算 (1)截面几何中心

对顶板中心线取面积矩,即S =4. 73608(m ) ,面积A =4. 96(m ) ; 箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为:e y =S /A =0. 955(m ) ; (2)惯性矩

截面绕x 、y 轴的惯性矩分别为I x =4. 556m 4、I y =25. 365m 4。 (3)广义扇性坐标c (s ) 计算

将以截面几何中心(G.C. )为极点的扇性坐标记为c ,将以扭转中心A 为极点的扇性坐标记为A 。扇性坐标原点取在y 轴与顶板中心线的交点上,如图5所示。则根据广义扇性坐标定义可知:

3

2

Ωs ds

c (s ) =⎰ρds -⎰00t

t

ds Ω2

=49. 32044, 式中,Ω=ρ(s ) ds =4. 7⨯2. 12⨯2=19. 928m ,=0. 40405;

ds t

t

s

具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下,具体计算结果如表1所示。 ① 箱梁闭口部分:c (s ) =

s

ρds -0. 40405⎰

s

ds ; t

s 2. 35

② 顶板悬臂部分:左侧c (s ) =c , 3' (s ) +

s

2. 35

ρds ;右侧c (s ) =c , 3(s ) -⎰ρds 。

表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标c (s ) 计算汇总

(a )箱梁截面广义扇性坐标c (s ) (单位:m 2)

4.75

1'

2'

3'

5'

s

21

-4.75

6' -2.35

2.35

x

6

(b )箱梁截面x 坐标图(单位:m ) 图6 箱梁截面广义扇性坐标与x 坐标图

(4)扭转(剪切)中心的确定

设扭转中心与截面几何中心的距离分别为αx 和αy ,具体计算公式为

αx =

I cx I x

(s ) ydA ⎰,α=

A

c

I x

y

=-

I cy I y

(s ) xdA ⎰=-

A

c

I x

考虑到y 轴为对称轴,且广义扇性坐标关于y 轴反对称,则广义扇性坐标c (s ) 与直角坐标y 的惯性积I cx = 扇性惯性积I cy =

⎰(s ) ydA =0,α

A

c A

c

x

=0,即扭转中心在y 上,故只需求αy 。

⎰(s ) xdA 可采用箱梁截面x 坐标图(图6(b )所示)与广义扇性

坐标c (s ) 图(图6(a )所示)乘得到,即 I cy =

A

c (s ) xdA =∑

∆S ij t ij

6

(2x

i

i

+x j ) +j (x i +2x j )

]

扇性惯性积I cy =

⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总见表2。

A

c

表2 扇性惯性积I cy =

⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总表

A

c

即扭转中心与截面几何中心竖向距离为:

αy =-

I cy I y

=-

2⨯3. 8048

=-0. 3000(m )

25. 365

即扭转中心A 坐标为(0,-0.3000),在截面几何中心的正下方0.3m 处。

图7所示为采用ANSYS 计算得到的该截面的剪切中心位置,从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方0.29233m ,与本文计算结果比较接近。

图7 薄壁箱梁截面剪切中心ANSYS 计算结果

(5)主扇性坐标A (s ) 计算

将扇性坐标极点从几何中心C 移到剪切中心A 处,按下式进行主扇性坐标计算,即

A (s ) =c (s ) +αy x -αx y +C

其中,C 为积分常数,与广义扇性静矩S c =

s

c (s ) tds 有关,即C =

S c A

(s ) tds ⎰=。

c

s

A

由于广义扇性坐标c (s ) 关于y 轴反对称,则

C =

S c A

(s ) tds ⎰==0

c

s

A

故A (s ) =c (s ) -0. 3x ,据此可计算得到各节点的主扇性坐标,结果如表3所示。对应的主扇性坐标A (s ) 图如图8所示。

表3 主扇性坐标A (s ) 的计算结果汇总表

图8箱梁截面主扇性坐标A

(s ) (单位:m 2)

(6)广义扇性静矩计算

在计算截面约束扭转剪应力时,需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩:

ds =S -

t

S ① 计算主扇性坐标下的扇性静矩S (s ) =

⎰0

s

A

取主扇性坐标零点(4点)为S (s ) (s ) tds ,

计算的起点,即在距离i 点为s 处的广义扇性静矩S , s 按下式计算,即 S , s 在i +1节点处的S , i +1为

S , i +1=S , i +(i +i +1)

t i ⋅s 2

=S , i +i ⋅t i ⋅s +(i +1-i ) 2⋅l i

t i ⋅l i

2

式中,S , i 为板段计算起点的广义扇性静矩。由4点开始依次计算,则各板段起点处的S , s 及S , i +1均可以计算。本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下: ① 4-3' 段:

S , 3' =0+(0. 0+(-1. 3667))

0. 22⨯2. 351. 3667⨯0. 22⨯2. 35

=-=-0. 353(3m 4)

22

② 3'-1' 段:(2'与3' 之间距离为1.089m)

S , 2'

0. 22⨯1. 0892

=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯1. 089+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)

2⨯2. 40. 22⨯2. 42

=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯2. 4+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 27952(m 4)

2⨯2. 4

S , 1'

③ 3'-6' 段:(3'与6' 之间主扇性坐标0点距离3' 点为1.3624m)

S , 10'

0. 30⨯1. 36242

=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯1. 3624+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 6326(m 4)

2⨯2. 120. 30⨯2. 122

=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯2. 12+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 54623(m 4)

2⨯2. 12

S , 6'

④ 6'-7段:

S , 7=-0. 54623+(0. 76+0. 0) ⨯

⑤ 7-6段:

0. 34⨯2. 35

=-0. 24261(m 4) 20. 34⨯2. 35

=-0. 54623(m 4) 2

S , 6=-0. 24261+(0. 0-0. 76) ⨯

⑥ 6-3段:(主扇性坐标“零”值10距离6点0.7576m )

S , 10

0. 30⨯0. 75762

=-0. 54623-0. 76⨯0. 30⨯0. 7576+(1. 3667-(-0. 76)) ⨯=-0. 6326(m 4)

2⨯2. 12

0. 30⨯2. 12

=-0. 3533(m 4)

2

S , 3=-0. 54623+(-0. 76+1. 3667) ⨯

⑦ 3-4段:

S , 4=-0. 3533+(1. 3667+0. 0) ⨯

0. 22⨯3. 25

=0. 0(m 4) (验证了计算结果的正确性!) 2

⑧ 3-1段:(2与3之间距离为1.089m ,注:计算该段是为顺时针方向,故S 、L 均应去负值!)

S , 2

0. 22⨯1. 0892

=-0. 3533+1. 3667⨯0. 22⨯(-1. 089) +(-1. 6453-1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)

2⨯(-2. 4)

0. 22⨯(-2. 4)

=-0. 27975(m 4)

2

S , 1=-0. 3533+(1. 3667-1. 6453) ⨯

对应该截面主扇性静矩如图9所示。

-0.51701

-0.3533

-0.51701

1' 2'

s

42

G.C.

7

-0.24261

-0.54623

-0.54623

x

-0.6326

-0.6326

-0.54623

-0.54623

图9 箱梁截面主扇性静矩S (s ) (单位:m 4)

② 计算S ds t

ds t

根据图9对S ds

分段进行计算,具体计算过程如下: t

ds n 1l i

S ds S t =∑⎰0

i t i

① 4-3' 段:

12

⨯(-2. 35⨯2⨯0. 3533+⨯2⨯2. 35⨯0. 3533) ⨯0. 22=-1. 2580(m 4) 23⎛1⎝2

2⎫4⨯2. 4⨯0. 19719⎪⨯0. 22=-4. 8860(m ) 3⎭

② 3'-1' 段:- ⨯(0. 3533+0. 27952) ⨯2. 40+③ 3'-6' 段:

- ⨯(0. 3533+0. 54623) ⨯2. 12+

⎛1

⎝22⎫1⨯2. 12⨯0. 155315=-3. 9100(m 4) ⎪⨯3⎭0. 30

④ 6'-7段:

121

⨯(-2. 35⨯2⨯0. 54623+⨯2⨯2. 35⨯0. 30362) ⨯=-2. 3764(m 4) 230. 34

S ds ds

=-24. 8608(m 4) ,=49. 32044。 t t

ds

=S +0. 5041,即截面广义扇性静矩如图10所示。故广义扇性静矩为=S - t

S -0.51701

0.1508

0.5041

0.1508

-0.51701

2

0.1285

0.2615

0.1285-0.04213

图10 箱梁截面广义扇性静矩(s ) (单位:m 4)

(7)主扇性惯性矩、极惯性矩、抗扭惯性矩几何特征计算

截面极惯性矩(以剪切中心为极点,仅考虑闭口部分,不计入悬臂翼缘部分。):

I ρ=ρ2dA =0. 8652⨯0. 34⨯4. 70+2⨯0. 30⨯2. 352⨯2. 12+0. 22⨯4. 70⨯1. 2552=9. 850(m 4)

L i 319. 9282Ω22+∑t i =+⨯2. 40⨯0. 223=8. 069(m 4) 截面抗扭惯性矩:I d =

ds 349. 320443t

截面约束扭转系数(翘曲系数):μ=1-

I d 8. 069=1-=0. 1808 I ρ9. 850

截面主扇性惯性矩I = I =

2

tds 由主扇性坐标A (s ) 图乘可得,即

i

n

L ij t ij 6

[(2+) +(+2) ]=∑

i

i

j

j

i

j

i

n

L ij t ij 3

2

i

+i j +j 2

]

即I =2. 3668(m ) (注:比ANSYS 计算结果偏小约7%)。 2)约束扭转内力及应力计算

闭口截面约束扭转微分方程如下:

θ' ' ' ' (z ) -k 2θ' ' (z ) =-μ

6

m t

EI GJ d 1. 445⨯1010⨯8. 069-2-1

其中k =μ=0. =0. 262(m ), k =0. 51186(m ) 。 10

EI 3. 40⨯10⨯2. 3668

2

该方程解为θ(z ) =C 1+C 2z +C 3chkz +C 4shkz -边界条件:

μm t

2k 2EI z 2。

θz =0=0(截面无约束扭转变形),B , z =0=0(截面可自由翘曲)。

简支梁跨中截面位置作用集中扭矩M k 时,跨中截面的约束扭转角与双力矩分别为:

θ z =⎪=

⎛⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d ⎛1μ⎛kl ⎫⎫⎛

,-tanh B ⎪ ⎪ z = 2kl ⎪2⎝⎝⎭⎭⎝

l ⎫μM k ⎛kl ⎫

tanh ⎪ ⎪=

2⎭2k ⎝2⎭

(1)跨中截面约束扭转正应力

跨中截面约束扭转位移:

⎛1μ⎛kl ⎫⎫

-tanh ⎪⎪ 2kl ⎪

⎝2⎭⎭⎝

1060000⨯40. 00. 18080. 51186⨯40⎫⎛1-5

=- ⎪=8. 9306⨯10(rad ) 10

22⨯1. 445⨯10⨯8. 069⎝20. 51186⨯40⎭

θ z =⎪=

⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d

跨中截面翘曲双力矩为:

⎛B z =⎝

l ⎫μM k ⎛kl ⎫0. 1808⨯1060⎛0. 51186⨯40⎫

tanh ⎪=tanh ⎪=⎪=187. 207(kN ⋅m )

2⎭2k 22⨯0. 511862⎝⎭⎝⎭

B (z =0. 5l )

A =0. A (MPa ) ,对应的截面翘曲

I 箱梁截面扇性正应力为:σ=

正应力结果如图11所示。

0.1301

0.1081

2'

3' -0.1081

5'

s

42

1

x

-0.0601

-0.0601

6'

7

6

图11 箱梁截面约束扭转正应力σ(单位:MPa )

(2)跨中截面约束扭转剪应力

简支梁在跨中作用集中力矩时,任意截面(z ≤l /2)时双力矩为

l

μM k sinh kz (z ≤l /2) B =

k sinh kl

l sinh k

cosh kz 弯扭力矩为:M ==μM k dz sinh kl

l sinh k

cos k l =μM k =0. 1808⨯1060=95. 824(kN ⋅m ) 当z =l /2,M =μM k

sinh kl 222

sinh k

对应的跨中截面约束扭转剪应力为

τ=-

M (s ) 0. 040487

=-(s )(MPa )

I t t

对应的跨中截面约束扭转剪应力如图12所示。

0.09515

0.05144

0.0650

0.0204

-0.0928

0.06500.0204

0.09515

0.05144

-0.0173

-0.0311

图12 箱梁截面约束扭转剪切应力τ(单位:MPa )

【作业4】采用有限元方法对教材P31页算例进行计算,具体分两个工况进行:

(1)跨中截面腹板位置作用一对对称集中竖向荷载,荷载大小为P/2=225.5kN; (2)跨中截面腹板位置作用一对反对称集中竖向荷载,荷载大小为P/2=225.5kN.

分别计算跨中截面、1/4跨位置截面上的正应力与剪应力分布,并绘制相应的正应力和剪应力分布曲线。(略) 【作业5】教材P143页第6题。(略)


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    摘要: 水力学与桥涵水文课程是交通土建专业本科生的一门必不可少的专业基础课.结合多年的教学实践,通过对课程设置.教学环节的组织.考核标准的制定等三方面的分析,提出了一些提高课程教学效果的措施和建议,如水力学与桥涵水文合并开课.教学紧密结合工程实际.正确运用现代化教学手段.合理组织教学过程.完善考核标 ...

  6. 道路工程概论论文

    ----------关于公路养护方面的浅谈 近些年来,一直在求学的路上奔跑着,这学期学到了道路工程,在我还未学这个时候,经常看到高速公路等很多重要的国家公路总是出现多次整修的情况,而且总是在重新维护,频率很大,就一直在想有没有什么方法能让公路的完整保持的时间更长一点,前些时间在中国期刊网上看到一些比 ...

  7. 2014年二级建造市政实务划考试重点汇总

    PS: <市政公用工程管理与实务> 1.地下管线必须遵循"先地下,后地上"."先深后浅"的原则先完成.保证路基的强度和稳定性.P1 2.路基施工测量:恢复中线测量:钉线外边桩:测标高.P1 3.压实质量检查:土质路基施工前,采用重型击实试验方法测定 ...

  8. 教育学考研:外国教育史部分知识点汇总

    教育学考研:外国教育史部分知识点汇总 [西欧近代教育思想] 1. 夸美纽斯的教育思想--(1)教育的目的:教育要使人认识世界上的一切事物,以便享受现世的幸福,并为永生做准备,即宗教性和现实性的相结合,是他的民主主义思想的反映;(2)教育的作用:①教育是改造社会建设国家的手段②高度评价教育对人的作用, ...

  9. 土木类期刊信息汇总

    国内土木期刊 中文核心期刊指南栏目主要报道2000年版的<中文核心期刊要目总览>所收录的期刊信息及本馆相应的纸本与电子版馆藏信息.<中文核心期刊要目总览>由北京大学图书馆与北京高校图书馆期刊工作研究会联合编辑出版,收编包括社会科学和自然科学等各种学科类别的中文期刊,其中对核心 ...