圆柱与圆锥知识大整理

圆柱与圆锥

一、基本知识梳理

底面(圆柱上下两个面)2个(相同的

圆)

:(3

侧面(圆柱周围的面)1

个(曲面)(沿高剪开是长方形) 当底面周长=高时,侧面展开是正方形

圆柱

特征

高:(无数距离)

棱: (2条) 底面周长

顶点:(1个)

底面:(1个)(圆)

面: (2

侧面:(1个)(曲面)(侧面沿母线展开是扇形)

圆锥

特征

高:从圆锥顶点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。

棱:(1条)底面周长

二、基本计算公式及推导

1、圆柱的侧面积:

把圆柱的侧面沿高剪开,展开后是一个长方形。长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高。因为长方形的面积=长×宽,所以圆柱的侧面积=底面周长×高

圆柱的侧面积=底面周长×高

用字母表示: S侧=ch=2πrh=πdh

2、圆柱的表面积:

圆柱的表面积=1个侧面积+2个底面积

用字母表示:S=2πrh+πr²×2

S=2πr×(h+r)

3、圆柱的体积公式及推导

把一个圆柱沿底面直径分成许多相等的扇形,把圆柱切开,再拼成一个近似的长方体。

长方体的底面积等于圆柱的底面积,高等于圆柱的高。

1因为长方体的体积=底面积×高V=πr²(a+b)× 2

所以,圆柱的体积=底面积×高

V=Sh=πr²h

等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积等于圆锥体积的3倍,圆锥的体积等于

1圆柱体积的 3

11V=sh=πr²h 33

三、思维开拓提升

圆柱的切拼

等腰三角形(一刀增加两个相同的等腰三角形) 三角形的底是圆锥的底面直径,高是圆锥的高 一刀增加的面积=底面直径×高

1 斜切圆柱 V=πr²(a+b)× 21、切与拼

2、旋转

①长方形旋转(同一张纸有两种旋转方法)

以长为轴旋转 以宽为轴旋转

(以宽为高,以长为半径)

两种旋转方法第二种的体积最大,表面积也最大。但侧面积相等

②直角三角形旋转

以短边为底面半径,长边为高

以长直角边为底面半径,短边为高

两条直角边分别是圆锥的底面半经和高

两种旋转,以长直角边为底面半径所得的圆锥体积最大。

3、削(用正方体削一个最大上的圆柱:圆柱的底面积、侧面积、表面积、体积都是正方体底面积、侧面积、表面积、体积的78.5%)

有相对的两个面是正方形的长方体也符合以上规律

4、1234规律

等底等高的圆柱和圆锥

1 : 2 : 3 : 4

(圆锥体积) (体积差) (圆柱体积) (体积和)

5、圆柱圆锥之间的关系

1.等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积等于圆锥体积的3倍,圆锥的体积等于1圆柱体积的 3

12等体积等高的圆柱和圆锥,圆柱的底面积等于圆锥底面积的,圆锥的底面3

积等于圆柱底面积的3倍

13等体积等底的圆柱和圆锥,圆柱的高等于圆锥体积的

,圆锥的高等于圆柱体积的

3倍

6、套管的体积

V=π×(R²-r²)×h 7、瓶子中的圆柱

b

瓶子的容积求法:

d)²×(a+b) 2

a

V=π×(

8、 当圆柱增高(降低)时,所增加(降低)的表面积面积=增高(降低)的圆柱体的侧面积。


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