质量惯矩(即转动惯量)的计算

工程应用一:桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算

桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算

赵凯 李永乐

(西南交通大学桥梁工程系,四川成都,610031,lele@swjtu.edu.cn)

1. 概 念

1.1 定义

质量惯性矩(或称质量惯矩,转动惯量)是刚体动力学里的一个重要概念,与质量具有同等重要的地位。质量惯性矩为空间中质量关于距离的二次矩。

对于离散质点系,它对空间任意一条直线z的质量惯矩表示为:

Jz=∑miri2

i=1

n

式中,mi是第i个质量块质量,ri表示第i个质量块到直线z的距离。

对于连续体,则需用积分表示:Jz=∫r2dm

1.2 几何意义

由定义表达式可见,质量惯矩的大小不仅与质量大小有关,而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中单位为kg·m2。质量惯矩越大,则表示质量分布离z轴越远。若设想刚体的质量集中于离z轴距离为ρz处,令J

z=mρz2,则

ρz=

称之为对z轴的回转半径。显然,它代表质量分布到z轴距离的一种“平均”。物体的质量惯矩等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。

1.3 物理意义

理论力学中有关于刚体运动的两个重要定理,分别是

d2y

动量定理: m2=∑F

dtd2ϕ

动量矩定理:Jz2=∑Mz(F)

dt

这两个定理分别描述刚体曲线运动和绕定轴的转动运动规律。动量定理表示质量为物体运动惯性的一种度量。类似地,由动量矩定理可见,力矩大,转动角加速度大;如力矩相同,刚体质量惯矩大,则角加速度小,反之,角加速度大。

李永乐@西南交通大学桥梁工程系,四川成都(610031)

可见,质量惯性矩的大小表现了物体转动状态改变的难易程度,即:质量惯矩是转动惯性的度量。若将转动与位移类比,力矩与力类比,则转动惯矩对应于质量。

1.4 质量惯性矩 VS 截面极惯性矩

截面极惯性矩表示平面上面积区域关于距离的二次矩,表示为:

Ip=∫ri2dA=IX+IY

材料力学推导了悬臂梁的扭转公式,

Tl

GIp

ϕ=

因此,极惯性矩是截面抗扭能力的一种度量,代表转动刚度,而质量惯性矩代表了转动惯性。前一个属静力学范畴,后一个主要应用于动力学。

2. 桥梁结构动力学中的应用

结构动力学分析中常常采用集中质量法,假定全部质量聚集在计算平动位移的点上,如图所示。结构运动微分方程一般表示为如下形式:

&+ω2y)=F(t) m(&&y+2ξωy

对于图示结构,假如各质量点均不会发生绕自身的面外转动(扭转),或者没有质量惯性矩,则质量矩阵中仅包含集中质量,位移矩阵也没有面外转动项。因为质量惯性矩是扭转振动的一个重要特征参数,没有质量惯矩,动力特性分析将得不到扭转振型。但是,工程结构如桥梁的动力计算考虑扭转常常是必须的。这时候就应该计算质量惯矩以计入扭转振型。扭转振动方程为:

2

&&+2ζαωαα&+ωαJαα=Mα(t)

()

又因为质量惯矩的计算取决于质量分布,截面特性不能反映此信息,所以必

须单独指定梁的质量惯矩。采用有限元建模,常常采用添加质量点方法(如ANSYS中mass21单元,MSC.MARC中的point mass,Midas中的节点质量等)。质量点可以设置在单元节点位置,实际建模中先计算主梁单位长度(每延米)质量惯矩,再根据单元长度确定质量点对应的质量惯矩。ANSYS分析中质量矩阵形式的选择应特别小心,当采用一致质量矩阵时,ANSYS会自动计算质量惯矩,该计算结果对于桥梁来说一般是不合适的,因此建议ANSYS分析中采用集中质

量矩阵,通过添加质量点的方法考虑质量惯矩。此外需注意的是,上述添加质量点的方法主要应用于单主梁模拟,对于多主梁模型的情况应特别小心,可能需要仔细的力学行为分析。以下例子都是基于单主梁模型的。

工程应用一:桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算

3. 计算方法

3.1 简单形状物体的转动惯量计算

(1) 双质量球

Jz=2⋅m(0.5l)2=0.5ml2

(2)均质细杆:

ll31

=ml2 Jz=∫(ρldx⋅x)=ρl

−l/21212

l/2

2

x

(3)任意均质多边形

Jz=∫r2dm=∫ρr2dA=ρIp

z

3.2 平行移轴公式

刚体对于任一轴的质量惯性矩,等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的质量惯性矩,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,即

Jz=Jzc+md2

3.3 桥梁结构主梁质量惯矩的计算

质量惯矩计算主要考虑主梁,以及公路桥面铺装、铁路轨道、道砟、防撞护栏、路灯、接触网设备、检修轨道等二期恒载,更详细的计算尚应考虑横隔板。下面给出每延米质量惯矩(单位kg·m)的计算方法。

(1)主梁

J1=ρIp

ρ—主梁材料密度(kg/m3);

IP—主梁净截面的极惯性矩(m4),当主梁截面采用相同材料时IP=IX+IY 。

(2)公路桥面铺装层

假定铺装层为一狭长矩形截面(亦可分多块分别计算),竖向抗弯惯矩很小,忽略不计,运用移轴定理(分多块计算时需水平和竖向两个方向的移轴),则

⎛1⎞J2=ρ⎜hb3+Ad2⎟

⎝12⎠

ρ—铺装层材料密度(kg/m3);

李永乐@西南交通大学桥梁工程系,四川成都(610031)

b—桥面宽(m);

h—铺装层厚度(m);

A—铺装层断面面积(m2);

d—桥面中央距主梁质心距离(m)。

(3)铁路道砟桥面

有详细资料时,按J3=∑miri2计算,其中mi,ri分别为第i条线路每延米质

i=1n

量和距桥面中心的距离。若仅知道总的线路每延米荷载,可假定道砟和轨道质量沿横向均匀分布,按照下式估算:

pb2

J3=12g

p—总的线路每延米荷载(N/m); b—道砟宽度(m)。

(4)其它二期恒载

J4=∑miri2

mi—每延米质量(kg/m)。注意对于路灯等附属设施在长度方向上不连续,计算时要区分;

ri—距主梁质心的距离(m)。

(5)横隔板

横隔板上分布有大量加劲肋,用钢梁大,准确计算其影响比较复杂,一种估算方法是,假定这些钢材质量沿横隔板面积均匀分布,则有

J5=

mnIpAL

m—标准横隔板质量(m); n—全桥横隔板数量; A—标准横隔板面积(m2); L—桥梁长度(m);

主梁总的每延米质量惯矩是上述各项之和:

J=∑Ji

上述计算方法可根据实际情况灵活运用,主梁、桥面铺装、二期恒载的贡献在总质量惯性矩中比例随具体桥梁的不同而有所变化,一般都应计算。对于横隔板、路灯等,当体量较小时计算中可忽略,这将导致质量惯性矩总体上略偏小,从而使扭转频率会略有增大,但增大量较有限。当主梁采用不同材料(如结合梁)或采用复杂空间组合形式(如桁架、桁架—箱梁组合截面、多层桥面)时质量惯矩的计算需特别小心。


相关范文

  1. 转动惯量组合实验仪 2012.10.21

    转动惯量组合实验仪 转动惯量的测定,在涉及刚体转动的机电制造.航空.航天.航海.军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的.测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法,本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量. [实验目的] 1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法 2.观测刚体的转动惯量随其质量,质 ...

  2. 转动惯量的计算

    说明:本文<转动惯量的计算>特地收集贡献出来供各位工程技术人员在参阅本人劣作<风机动平衡调试方法>时参考. 深圳华晶玻璃瓶有限公司工程部(动力车间)李宜斌 编辑 2010-10-21 转动惯量的计算 转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中. 单个质点的转动惯量: I = m ...

  3. 转动惯量测量实验报告(共7篇)

    篇一:大学物理实验报告 测量刚体的转动惯量 测量刚体的转动惯量 实验目的: 1.用实验方法验证刚体转动定律,并求其转动惯量: 2.观察刚体的转动惯量与质量分布的关系 3.学习作图的曲线改直法,并由作图法处理实验数据. 二. 实验原理: 1.刚体的转动定律 具有确定转轴的刚体,在外力矩的作用下,将获得 ...

  4. 刚体转动惯量的测定-样本

    第一章 刚体转动惯量的测定 刚体的转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量,转动惯量不仅取决于刚体的总质量,还与刚体的形状.质量分布以及转轴位置有关.对于质量分布均匀.具有规则几何形状的刚体,可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量.对于质量分布不均匀.没有规则几何形状的刚体,通常采用实验的方法 ...

  5. 大学物理实验 用三线摆法测定物体的转动惯量

    用三线摆法测定物体的转动惯量 转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度,它与刚体的总质量.形状大小.密度分布和转轴的位置有关.对于形状较简单的刚体,可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量.但是,对于形状较复杂的刚体,用数学方法计算它的转动惯量非常困难,大都用实验方法测定.例如:机械零部件.电机转子及枪 ...

  6. 大学物理实验--转动惯量的测量

    转动惯量的测定 实验性质:综合性实验 教学目的和要求: 1. 测量不同形状刚体的转动惯量: 2. 加深对转动惯量的理解. 教学重点与难点:重点:正确记录有效数字和使用相关仪器设备 难点:各仪器的正确使用. 一.检查学生的预习情况 检查学生预习报告:内容是否完整,表格是否正确. 二.实验仪器和用具:转 ...

  7. 用三线摆测刚体转动惯量

    课 题 用三线摆测物理的转动惯量 教 学 目 的 1.了解三线摆原理,并会用它测定圆盘.圆环绕对称轴的转动惯量: 2.学会秒表.游标卡尺等测量工具的正确使用方法,掌握测周期的方法: 3.加深对转动惯量概念的理解. 重 难 点 1.理解三线摆测转动惯量的原理: 2.掌握正确测三线摆振动周期的方法. 教 ...

  8. 三线摆-----试验教程

    实验11 用三线摆测物体的转动惯量 转动惯量是物体转动时惯性大小的量度. 它与物体的质量.质量分布.几何形状和转轴的位置有关. 对于形状复杂或不规则的物体, 很难用数学的方法计算出它的转动惯量. 必须用实验方法来测定. 本实验介绍测定物体转动惯量的一种方法. [目的] 1. 学会用三线摆测物体的转动 ...

  9. 讲课稿(刚体转动惯量的测定)

    刚体转动惯量的测定(讲课稿) 通过大学物理的学习,我们知道转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量,它与刚体的质量分布及转轴的位置有关.正确测定物体的转动惯量,对于了解物体的转动规律,以及在机械设计和制造中都有着非常重要的意义.然而在实际工作中,大多数物体的几何形状都是不规则的,难以直接用理论公式算 ...

  10. 测量刚体的转动惯量大学物理实验

    大学物理实验 测量刚体的转动惯量 班级: 姓名: 学号: 实验日期:2010/11/12 实验名称 测量刚体的转动惯量 一. 实验目的: 1.用实验方法验证刚体转动定律,并求其转动惯量: 2.观察刚体的转动惯量与质量分布的关系 3.学习作图的曲线改直法,并由作图法处理实验数据. 二. 实验原理: 1 ...