整系数多项式的根在复平面上的图像 - 副本

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令人敬畏的数学:整系数多项式的根在复平面上的图像

Brain Storm | 2009-12-09 17:46| 39 Comments | 本文内容遵从CC 版权协议 转载请注明出自

matrix67.com

发现,把所有次数不超过5的、系数在-4到4范围内的整系数多项式的所有根描绘在同一个复平面上,你会看到一个异常壮观的画面。图中的每个灰色点代表某个二次多项式的一个根,蓝色点代表三次多项式的根,红色代表四次多项式的根,黑色代表五次多项式的根。水平线代表实轴,0和±1的地方有很明显的空洞;竖直方向是虚轴,每个单位根处也都有明显可辨的空洞。

受到上述实验的启发,Sam Derbyshire决定画一张更一般的、分辨率更高的多项式复根图。考虑每个系数要么为1要么为-1的全体24次多项式,它们总共将产生24*2^24——约等于4亿——个根。他让Mathematica 运行了四天四夜才算出所有这些根的位置,得到了大约5个G 的数据。最后,他用一个Java 程序画出了这些根在复平面上的分布图,奇迹出现了:

下面是一张局部放大图:

这是位于1附近的局部放大图:

这是位于4/5附近的局部放大图:

这是位于(4/5)i 附近的局部放大图:

最美的地方还是(1/2)*Exp(i/5)附近的局部放大图:

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39 条回复

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楼层: 沙发 | 2009-12-09 17:51 | Dai 说:

= =难道是传说中的沙发?

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楼层: 板凳 | 2009-12-09 18:06 | pal_tongtong 说:

数学的美丽!奇妙!

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楼层: 地毯 | 2009-12-09 19:48 | Aule 说:

太漂亮啦!

可不可以实现在空间里呢?

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楼层: 地板 | 2009-12-09 20:22 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 令人敬畏的数学:整系数多项式的根在复平面上的图像 -- Topsy.com 说:

[...] This post was mentioned on Twitter by PigheadX and YCF.name, netson. netson said: 令人敬畏的数学:整系数多项式的根在复平面上的图像 [...]

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楼层: 地下室 | 2009-12-09 20:24 | hss 说:

不错!

我绘制的一个开3次方根的图, 颜色由跌入根的速度等决定: http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb00.PNG

一张五次的: http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb01.PNG

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楼层: 地基 | 2009-12-09 20:40 | crazylamb 说:

最后一张好漂亮

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楼层: 地壳 | 2009-12-09 21:02 | P.K. 说:

超神了

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楼层: 地幔 | 2009-12-09 21:21 | 天意 说:

有点像fracture?

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楼层: 地核 | 2009-12-09 21:21 | vole 说:

神!

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楼层: 10楼 | 2009-12-09 21:27 | 令人敬畏的数学:整系数多项式的根在复平面上的图像 at 男单 618 说:

[...] 令人敬畏的数学:整系数多&#39... via Matrix67: My Blog by Matrix67 on 12/9/09 [...] l

楼层: 11楼 | 2009-12-09 21:44 | CpyPrefersYou 说:

惊叹.

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楼层: 12楼 | 2009-12-09 22:07 | Магсн 说:

比mandelbrot 还强

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楼层: 12a楼 | 2009-12-09 22:23 | dutor 说:

这难道是真的吗?

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楼层: 14楼 | 2009-12-09 22:50 | 3WATER 说:

不会解方程,飘走

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楼层: 15楼 | 2009-12-09 22:52 | Righthand 说: 整系数多项式确实有很多性质,黄金分割数(golden number)就是二次多项式的一个特殊的根。而其他的整系数二次多项式系数的根组成了所谓的metal number l

楼层: 16楼 | 2009-12-09 22:54 | cgy4ever 说: 也许六次多项式会更美~

可惜我们没有机会看到了...

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楼层: 17楼 | 2009-12-09 23:22 | biohu 说: 赞叹………………

地下室的也很好。

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楼层: 18楼 | 2009-12-10 0:44 | 3.1415926 说: 不错, 震惊. 地下室的比较漂亮~~~ l

楼层: 19楼 | 2009-12-10 7:19 | multiple1902 说: 太美了!

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楼层: 20楼 | 2009-12-10 8:50 | www.28.com 说: ps 都弄不出的效果

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楼层: 21楼 | 2009-12-10 9:56 | ykzls 说: 能提供源程序吗? 我也运行几天试试

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楼层: 22楼 | 2009-12-10 10:10 | gnaggnoyil 说:

这个图像有什么特殊意义呢

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楼层: 23楼 | 2009-12-10 18:29 | 白左 说:

exp(iπ/4) 这个点周围的根的密度分布好像电子云,切面分布还像粒子在一维有限势阱的薛定谔方程的常态解。。。。这里面有什么深层次的联系么。。。。太美妙了。。。

话说M 大牛很敏感啊~比松鼠会快了近18小时~

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楼层: 24楼 | 2009-12-10 20:10 | NirViaje 说:

很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事

btw - Carl Sagan的Contact 里有这么段意思,也许改掉一点会更美妙:

在最后它透过外星人说了一个“事实”(对我们而言可以说是个预言吧) 。他说,每个超越数 (例如pi) 的数字,如果你算得够久,而且选对了基底 (3 进位、16 进位, ... 之类的) ,你将会得到一连串的0和1。而这些0和1就是某种密码。这是内建在宇宙之中的固有讯息。书中的女主角“发现”了如果用11进位去算pi ,算得够久之后,果然出现了0和1的讯号。把这些讯号用某种方式印在纸上(加上一些line feed),那些1就形成一个圆,很动人的故事吧。

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楼层: 25楼 | 2009-12-10 22:30 | Eagle_Fantasy 说:

美妙..

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楼层: 26楼 | 2009-12-10 22:45 | Phil 说:

OMG...

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楼层: 27楼 | 2009-12-11 0:50 | zzz 说:

好漂亮~~~数学果然充满着神奇

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楼层: 28楼 | 2009-12-11 9:38 | zenyhi 说:

现在才明白数学是最美丽的这句话的意思,呵呵,还真的是美丽啊,呵呵

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楼层: 29楼 | 2009-12-11 18:36 | SixSheep 说:

单位根上为什么会有空洞呢?

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楼层: 30楼 | 2009-12-11 23:22 | inothacker 说:

太美了!只有赞叹!

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楼层: 31楼 | 2009-12-12 11:25 | charme 说:

你这个博客是个什么版本? 在哪里可以注册到?

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楼层: 32楼 | 2009-12-12 23:23 | xr 说:

beautiful!!

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楼层: 33楼 | 2009-12-13 15:26 | digiter 说:

从松鼠会转过来的? 呵呵

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楼层: 34楼 | 2009-12-13 23:45 | morrowind 说:

复杂的只是表象,宇宙是最简单的。

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楼层: 35楼 | 2009-12-14 22:52 | yh 说:

Matrix67: My Blog » Blog Archive » 令人敬畏的数学:整系数多项式的根在... 页码,13/16

5楼的图颜色调整一下貌似就可以当桌面了

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楼层: 36楼 | 2010-01-06 17:31 | 海藻 说:

好神奇啊!

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楼层: 37楼 | 2010-02-20 2:59 | gypsy 说:

好看

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楼层: 38楼 | 2010-03-29 1:10 | 浪潮网摘 说:

太震撼了

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楼层: 39楼 | 2010-08-02 11:16 | 晓而不羽 说:

楼层: 24楼 | 2009-12-10 20:10 | NirViaje 说:

很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事

btw - Carl Sagan的Contact 里有这么段意思,也许改掉一点会更美妙:

在最后它透过外星人说了一个“事实”(对我们而言可以说是个预言吧) 。他说,每个超越数 (例如pi) 的数字,如果你算得够久,而且选对了基底 (3 进位、16 进位, ... 之类的) ,你将会得到一连串的0和1。而这些0和1就是某种密码。这是内建在宇宙之中的固有讯息。书中的女主角“发现”了如果用11进位去算pi ,算得够久之后,果然出现了0和1的讯号。把这些讯号用某种方式印在纸上(加上一些line feed),那些1就形成一个圆,很动人的故事吧。

=========================================================

假如pi 是“正态数”的话,就算任选基底,都能在适当的地方找到指定的01串。

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