点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结

【空间中的平行问题】

(1)直线与平面平行的判定及其性质

①线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (线线平行→线面平行)

②线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(线面平行→线线平行)

(2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理:

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行)

②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行)

③垂直于同一条直线的两个平面平行

两个平面平行的性质定理:

①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)

【空间中的垂直问题】

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】

(1)直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角:规定为 0

②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,a,b形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0

②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90

③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,

解题时,注意挖掘题设中两个信息:①斜线上一点到面的垂线;②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

练习题

一、选择题(每小题4分,共52分)

1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )

A.16 B.20

C.24 D.32

2.已知在四面体ABCD中,若AB2,CD4,EFAB,则EF与CDE,F分别是AC,BD的中点,

所成

的角的度数为( )

A.90B.45

C.60 D.30

3.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有( )

A.1条 B.2条

C.3条 D.1条或2条

4.在长方体ABCDA底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1BC11D1,1D11到截面AB的距离为( )

8 B. 3

4C. D. 3A. 3 83 4

5.直三棱柱ABCA1B1C1中,各侧棱和底面的边长均为a,点D是CC1上任意一点,连接A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥AA1BD的体积为( )

A.1333a B.a 612

133a D.a3 126C.

6.下列说法不正确的是( ) ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形;

B.同一平面的两条垂线一定共面;

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

7.设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m,n//,则mn ②若//,//,m,则m ③若m//,n//,则m//n ④若,,则//

其中正确命题的序号是 ( )

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

8.若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,则长方体体对角线长为( )

A

B

C

D

09.在三棱锥ABCD中,AC底面BCD,BDDC,,BDDC,ACa,ABC30

则点C到平面ABD的距离是( )

A

B.

C

D

E是ACCE垂直于( ) 10.在正方体ABCDA1BC11D1中,若11的中点,则直线

A.AC B. BD C.A1D D.A1D1

11.三棱锥PABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的( )

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

12.在四面体ABCD中,已知棱AC

其余各棱长都为1,则二面角ACDB的余弦值为( )

A.11 B. C

D

2313.四面体SABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )

A.90 B.60 C.45 D.30 0000

二、填空题(每小题4分,共20分)

1.点A,B到平面的距离分别为4cm和6cm,则线段AB的中点M到平面的距离为_________________.

2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为_______。

03.一条直线和一个平面所成的角为60,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的

角中最大的角是____________.

4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为

_____。

5.在正三棱锥PABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,AB4,PA8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面,则截面ADE的周长的最小值是________

三、解答题

1.已知直线b//c,且直线a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面。(15分)

2. 如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且AMBN=, 求证:MN//平面SBC(15分) SMND

M是AA1的中点.求证:平面MBD平面BDC.3.正方体ABCDA1BC(1511D1中,

分)

4.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。(15分)

5.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平

面ABC,SAM、N分别为AB,SB的中点。(18分) SC(Ⅰ)证明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;

(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离。

参考答案

一、选择题

1.C 正四棱柱的底面积为4,正四棱柱的底面的边长为2

,正四棱柱的底面的对角线为

,正四棱柱的对角线

为,而球的直径等于正四棱柱的对角线,

即2R

RS球4R224

2.D 取BC的中点G,则EG1,FG2,EFFG,则EF与CD所成的角EFG30

3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线

4.C 利用三棱锥A1AB1D1的体积变换:VA1AB1D1VAA1B1D1,则24

5.B

VAA1BDVDA1BA01316h 311a22 Sh332212

6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

7. A ③若m//,n//,则m//n,而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若,,则//,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交

8.C 设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,则x2y2a2,y2z2b2,x2z2c2 222得xyz12(ab2

c2)29.B 作等积变换VABCDVCABD

10.B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影

11.C BCPABCAH

12.C取AC的中点E,取CD的中点F

,EF1EF ,BE

BFcos222BF3

13.C 取SB的中点G,则GEGF

二、填空题 a,在△SFC

中,EF,EFG450 22

1.5cm或1cm 分A,B在平面的同侧和异侧两种情况

2.48 每个表面有4个,共64个;每个对角面有4个,共64个

3.90 垂直时最大

4.30

底面边长为1

,tan00

5.11 沿着PA将正三棱锥PABC侧面展开,则A,D,E,A'共线,且AA//BC

三、解答题

1.证明:b//c,不妨设b,c共面于平面,设abA,acB Aa,Ba,A,B,即a,所以三线共面

2.略

3.略

4.略

5.略 '


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