函数不等式

函数法

利用函数的性质(如单调性、有界性、凹凸性)来证明不等式也是一种基本

方法,用函数的观点考察不等式的问题,可使问题化难为易,化繁为简。

我们再回到例7中,此题有过代数法、三角法等多种证法,但如果用函数观

点指导,对问题的证明就更加简捷了。

证明:设CD 是△ABC 底边AB 上的高,CD=h,AD=m,DB=n,则b 2=m2+h2,

1a 2=n2+h2, (m+n)h 2

1∴a 2+b2+c2-4S= n 2+h2 +m2+h2+ (m+n)2-43·(m+n)h=2〔h 2-23

(m+n)h+ m2+ n2+ mn〕 运用函数观点,右边中括号内就是h 的二次函数 f(h)= h2- (m+n)h +m2+ n2+ mn,而二次项系数1>0

又△=3(m+n)2-4(m2+n2+mn)=-(m-n)2≤0 ∴f(h)≥0

∴a 2+ b2+ c2-43S ≥0 即a 2+b2+c2≥43S

注:其实回顾前面在判别式法中便渗透了函数思想

例13:设0≤a ≤1,0≤x ≤π,证明:(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0

证明:首先注意到a=0、1及x=0、π时,不等式显然成立,故只须证0

及0

将要证的不等式改写成(1-a )sin(1-a)x≥(1-2a)sinx,显然这个不等式难以直接化简证明,而采取“加强命题”的手法

因为(1-2a )sinx ≤(1-2a+a2)sinx=(1-a)2sinx ,所以若能证明(1-a)2sinx ≤

(1-a)sin(1-a)x就得到要证的不等式。

sin(1-a)x事实上,上面一个不等式等价于sin(1-a)x≥(1-a)sinx,又等价于 ≥(1-a)x

sinx sinx ,由于(1-a )x

π减函数即可,因为f 1(x)=sinx,f 2(x)=x在(,π)内分别为减函数与增函数。2

f 1(x)ππ所以f(x)=,π)内是减函数,又不难证明f(x)在(0, )内是减函 f 2(x)22

数,因此f (x )在在(0,π)内是减函数,求题关键在于用函数的单调性来解决问题。

注:为证一个很复杂的不等式A ≤B ,若用某种方法能判定A ≤C ,则可尝试去证C ≤B (如形式上它要比A ≤B 简单)如果能达到目的,则便证得A ≤B ,这就是所谓“加强命题”的手法,当然C ≤B 也可能不成立,那就只好另想方法去证A ≤B ,用函数方法证不等式及讨论函数的增减性,还可利用求导数这一重要手法。


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