统计概率高考试题(答案)

统计、概率练习试题

1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,

88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则

A,B两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D

2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )

A、101 B、

808 C、1212 D、2012 【答案】B

3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 【答案】A.

5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据,分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为

A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B

6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且

10、【2012高考安徽】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A)

【答案】B

【解析】1个红球,2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3,

15

(B)

25

(C)

35

(D)

45

从袋中任取两球共有

a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c3

615

25

15种;

满足两球颜色为一白一黑有6种,概率等于。

11、【2102高考北京】设不等式组

0x2,0y2

,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个

点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 (A)

4

(B)

2

2

(C)

6

(D)

44

【答案】D 【解析】题目中

0x20y2

表示的区域如图正方形所示,而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此

22P

1

22

2

2

44

,故选D。

12、【2012高考辽宁】在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为

:(A)

16

(B)

13

(C)

23

(D)

45

【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为x(12x)cm2, 由x(12x)20,解得2x10。又0x12,所以该矩形面积小于32cm2的概率为故选C

13、【2012高考浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,

则该两点间的距离为

25

23

2

的概率是___________。

【答案】

2

【解析】

,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为

C4C

1

2

5

410

25

.

14、【2012高考江苏】现有10个数,它们能构成一个以1为首项,

3为公比的等比数列,

若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ . 【答案】

35

【考点】等比数列,概率。

【解析】∵以1为首项,3为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,

∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是

610=35

15、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

(A)



(B)



(C)



(D)



16、甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

17、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 11.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5)

18

1l [31.5,35.5)

12 [35.5,39.5)

7

[39.5

43.5)

2

[15.5,19.5)

4

[19.5,23.5)

9

[23.5

27.5)

12

B.

35

C.

23

D.

34

[27.5,31.5)

3

根据样本的频率分布估计,大于或等于31.5的数据约占 (A)

211

(B)

3

1

(C)

12

(D)

23

18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率

A.

110

B.

310

C.

35

D.

910

19、【2012高考山东】袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡

片两张,标号分别为1,2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜

色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1

蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为P

310

.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为P

815

.

20、【2012高考新课标】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.

(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】

21、【2012高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

110

和p。

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

4950

,求p的值;

(Ⅱ)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 命题立意:本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识,考查实际问题的数学建模能力,数据的分析处理能力和基本运算能力. 【答案】 【解析】

22、【2012高考重庆】甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率

31

12

,且各次投篮互不影响。(Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球

的概率。

独立事件同时发生的概率计算公式知p(D)p(A1B1A2B2)p(A1B1A2B2A3) p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A3)()()()()

3

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2

13

427

23、【2012高考天津】某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果;

(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。 【答案】

24、【2012高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。 【答案】

25、【2012高考江西】如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点。

(1) 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这3点与原点O共面的概率。

1、【2012高考浙江】 设l是直线,a,β是两个不同的平面

A. 若l∥a,l∥β,则a∥β B. 若l∥a,l⊥β,则a⊥β C. 若a⊥β,l⊥a,则l⊥β D. 若a⊥β, l∥a,则l⊥β 【答案】B

【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵l∥a,l⊥β,则a⊥β.如选项A:l∥a,l∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l⊥a,l∥β或l;选项D:若若a⊥β, l⊥a,l∥β或l⊥β.

2、【2012高考四川】下列命题正确的是( )

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C

3、【2012高考新课标】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视

图,则此几何体的体积为(

(A)6 (B) 9 (C) (D)

【答案】B

【解析】选B由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,所以几何体的体积为V

1312

6339,选B.

4、[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1-2所示,则它的体积是(

)

图1-2

A.8-

2ππ

B.8-33

C.8-2π D.

3

课标理数5.G2[2011·陕西卷] A 【解析】 分析图中所给的三视图可知,对应空间几何图形,应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1,高为2的圆锥,则对应体积为:V12=2×2×2-×12×2=8-π.

33

5、【2012高考新课标】平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α2,则此球的体积为

(A)π (B)4π (C)4π (D)6π 【答案】B

【解析】球半径r(2)

2

3,所以球的体积为

43

3

(3)43,选B.

6、【2012高考全国】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中 ,AB

2,CC1E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为

(A)2 (B

) (C

(D)1 【答案】D

【解析】连结AC,BD交于点O,连结OE,因为O,E是中点,所以OE//AC1,且OE

12

AC1,所以AC1//BDE,即直线AC1 与平面BED的距离等于点C到平面BED的

距离,过C做CFOE于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2,高为22,所以AC22,OC

2,CE

2,OE2,所以利用等积法得CF1,选

D.

【解析】A.两直线可能平行,相交,异面故A不正确;B.两平面平行或相交;C.正确;D.这两个平面平行或相交.

7、在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB的中点,则OM与平面ABC所成角的正弦值是______________

8、如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧 棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

9、如图:正四面体S-ABC中,如果E,F分别是SC,AB的中点,

那么异面直线EF与SA所成的角等于 ( C )

F

A

A.60° B. 90° C.45° D.30

10、[2011·四川卷] 如图1-5,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连结AP交棱CC1于点D.

(1)求证:PB1∥平面BDA1;

(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.

图1-5

大纲文数19.G12[2011·四川卷] 【解答】 解法一: (1)连结AB1与BA1交于点O,连结OD. ∵C1D∥AA1,A1C1=C1P, ∴AD=PD,

又AO=B1O,∴OD∥PB1

.

图1-6

又OD⊂平面BDA1,PB1⊄平面BDA1, ∴PB1∥平面BDA1.

(2)过A作AE⊥DA1于点E,连结BE. ∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A, ∴BA⊥平面AA1C1C. 由三垂线定理可知BE⊥DA1.

∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角.

在Rt△A1C1D中,A1D12+12= 22

11又S△AA1D×1×1=××AE,

2222∴AE=5

在Rt△BAE中,BEAE2

∴cos∠BEA=

BE3

2

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.

3解法二:

1+

2

22=3 55

图1-7

如图1-7,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-xyz,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),P(0,2,0).

11(1)在△PAA1中有C1DAA1,即D0,1,.

221→→→

∴A1B=(1,0,1),A1D=0,1,,B1P=(-1,2,0).

2设平面BA1D的一个法向量为n1=(a,b,c), →A1B=a+c=0,n1·

则→1

nA1·1D=b+=0.2

1. 令c=-1,则n1=1,1

2

1→

∵n1·B1P=1×(-1)×2+(-1)×0=0,

2∴PB1∥平面BDA1,

1(2)由(1)知,平面BA1D的一个法向量n1=1,

2,-1. 又n2=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量, n1·n212

∴cos〈n1,n2〉==.

|n1|·|n2|33

1×2

2

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.

3

11、[2011·天津卷] 如图1-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.

(1)证明PB∥平面ACM; (2)证明AD⊥平面PAC;

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

图1-7

课标文数17.G12[2011·天津卷]

图1-8

【解答】 (1)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.

(2)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.

1

(3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN==

21.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在11Rt△DAO中,AD=1,AODO=从而ANDO=在Rt△ANM中,tan∠MAN

2224=

MN1445

,即直线AM与平面ABCD. AN554


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