高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系

㈠ 平面的基本性质

公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。

公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线) 。

㈡ 空间图形的位置关系

1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)

1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a ∥b ,b ∥

c 1.2 异面直线

定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角

⑴ 异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法:平移法。

注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等) ,形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)

㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行

1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理:

1.3 性质定理:

a ∥c

2 线面角:

2.1 直线与平面所成的角(简称线面角) :若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°]

3 面面平行

3.2 面面平行的判定定理:

⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即:

推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段,那么这两个平面平行。即:

⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平行。即:

3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 ⑵

⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。

㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直

1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。

1.2 线面垂直的判定定理:

图2-5 判定1推论

图2-3 线面角

3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。

线面平行)

图2-6 判定

2

1.3 线面垂直的性质定理:

⑴ 若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。

⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即:

★1.4 三垂线定理及其逆定理

已知PO ⊥α,斜线PA 在平面α内的射影为OA ,a 是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理:若a ⊥OA ,则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。

② 三垂线定理逆定理:若a ⊥PA ,则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影。 2 面面斜交和二面角

2.1 二面角的定义:两平面α、β相交于直线l ,直线a 是α内的一条直线,它过l 上的一点O 且垂直于l ,直线b 是β内的一条直线,它也过O 点,也垂直于l ,则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角,记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围:∠α-l-β ∈[0°,180°]

3 面面垂直

3.1 面面垂直的定义:若二面角α-l-β的平面角为90°,则两平面α⊥β。 3.2 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 即:

3.3 面面垂直的性质定理

⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°; ⑵ ⑶ ⑷

图2-11 面面垂直性质3 图2-10 面面垂直性质

2

图2-7

斜线定理

例题分析

例1、(1)已知异面直线a,b 所成的角为700, 则过空间一定点O, 与两条异面直线a,b 都成600角的直线有( ) 条.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(2)异面直线a,b 所成的角为θ, 空间中有一定点O, 过点O 有3条直线与a,b 所成角

都是60, 则θ的取值可能是 ( ).

A. 30 B. 50 C. 60 D. 90

例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点. 求证:MN ⊥AB ;

例3、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC

0,AC=1,C 点到AB 1的距离为CE=

3

,D 为AB 的中点2

(1)求证:AB 1⊥平面CED ;

(2)求异面直线AB 1与CD 之间的距离; (

3)求二面角B 1—AC —B 的平面角.

例4、在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB <CD ,SD ⊥平面ABCD ,AB=AD=a,SD=2a ,在线段SA 上取一点E (不含端点)使EC=AC,截面CDE 与SB 交于点F 。

(1)求证:四边形EFCD 为直角梯形; (2)求二面角B-EF-C 的平面角的正切值; 例5.如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求证:A 1C ⊥平BDC 1;


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